Question

При каких значениях параметра а, сумма корней уравнения х^2-2a(x-1)-1=0 равна сумме квадратов корней?

Answer 1

Ответ:

а = 0,5;   а = 1

Пошаговое объяснение:

х² - 2a(x-1) - 1=0

Применим теорему Виета.

• сумма корней приведенного квадратного трехчлена x² + px +q = 0
• равна его второму коэффициенту p  с противоположным знаком,
• а произведение равно  свободному члену q
• x₁ + x₂ = -p
• x₁ * x₂ = q

Приведем наше уравнение к виду x² + px +q = 0

x² -2ax +2a -1 = 0

x² - 2ax +(2a -1) = 0

Таким образом, у нас

р = -2а

q = (2a -1)

Запишем условие теоремы Виета для нашего уравнения.

• x₁ + x₂ = 2а         (1)
• x₁ * x₂  = (2а-1)    (2)

Теперь запишем требование задачи

• x₁² + x₂² =x₁ + x₂

Выделим слева полный квадрат

x₁² + 2x₁ * x₂ + x₂² - 2x₁ * x₂ = x₁ + x₂

(x₁ + x₂)²- 2x₁ * x₂ = x₁ + x₂

И теперь подставим сюда формулы (1) и (2)

(2a)² -2*(2a-1) = 2a

Осталось только решить это квадратное уравнение относительно а.

4a²- 4a +2 -2a  = 0;

4a² - 6a + 2 = 0;            | :2

2a² - 3a + 1 = 0;

уравнение вида ax² +bx +c = 0

для него решение

$\displaystyle D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*1 = 9 - 8 = 1;\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2} =\frac{3-1}{4} =\frac{2}{4} =\frac{1 }{2} =0.5\\\\x_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2} =\frac{3+1}{4} =1$

Таким образом у нас есть два значения для константы а из исходного уравнения.

а = 0,5;   а = 1