СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА
1. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х³+х в точці хо=-2
2. Знайдіть похідну функції y = √x(5х²-4х) в точці хо=4
Ответы
Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції y = x³ + x в точці x₀ = -2, спершу знайдемо значення функції та її похідної в цій точці.
Функція:
y(x) = x³ + x
Похідна:
y'(x) = 3x² + 1
Тепер знайдемо значення функції та її похідної в точці x₀ = -2:
y(-2) = (-2)³ + (-2) = -8 - 2 = -10
y'(-2) = 3(-2)² + 1 = 12 + 1 = 13
Тепер ми маємо точку (-2, -10) і нахил дотичної, який дорівнює 13. Використовуючи формулу для рівняння дотичної:
y - y₀ = m(x - x₀),
де (x₀, y₀) - точка дотику, m - нахил дотичної, підставимо значення:
y - (-10) = 13(x - (-2))
y + 10 = 13(x + 2)
Остаточне рівняння дотичної:
y = 13x + 36
Для знаходження похідної функції y = √x(5x² - 4x) в точці x₀ = 4, використовуємо правило ланцюга.
Функція:
y(x) = √x(5x² - 4x)
Похідна:
Знайдемо похідну першої складової (функції √x) за допомогою правила степені:
(d/du) √u = (1/2√u) * (du/dx)
де u = x, отже, du/dx = 1, і маємо:
(d/du) √x = (1/2√x) * 1 = 1/(2√x)
Тепер знайдемо похідну другої складової (5x² - 4x) за допомогою правила ланцюга:
(d/dx) (5x² - 4x) = 10x - 4
Зараз знаходимо похідну всього виразу за допомогою правила ланцюга:
y'(x) = [(1/(2√x)) * (5x² - 4x)] + [√x * (10x - 4)]
Тепер підставимо значення x₀ = 4:
y'(4) = [(1/(2√4)) * (5(4)² - 4(4))] + [√4 * (10(4) - 4)]
y'(4) = [(1/4) * (80 - 16)] + [2 * (40 - 4)]
y'(4) = (20 - 4) + (80 - 8)
y'(4) = 16 + 72
y'(4) = 88
Отже, значення похідної функції в точці x₀ = 4 дорівнює 88.