Question

СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА
1. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х³+х в точці хо=-2
2. Знайдіть похідну функції y = √x(5х²-4х) в точці хо=4

Answer 1

   Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції y = x³ + x в точці x₀ = -2, спершу знайдемо значення функції та її похідної в цій точці.

   Функція:

   y(x) = x³ + x

   Похідна:

   y'(x) = 3x² + 1

   Тепер знайдемо значення функції та її похідної в точці x₀ = -2:

   y(-2) = (-2)³ + (-2) = -8 - 2 = -10

   y'(-2) = 3(-2)² + 1 = 12 + 1 = 13

   Тепер ми маємо точку (-2, -10) і нахил дотичної, який дорівнює 13. Використовуючи формулу для рівняння дотичної:

   y - y₀ = m(x - x₀),

   де (x₀, y₀) - точка дотику, m - нахил дотичної, підставимо значення:

   y - (-10) = 13(x - (-2))

   y + 10 = 13(x + 2)

   Остаточне рівняння дотичної:

   y = 13x + 36

   Для знаходження похідної функції y = √x(5x² - 4x) в точці x₀ = 4, використовуємо правило ланцюга.

   Функція:

   y(x) = √x(5x² - 4x)

   Похідна:

   Знайдемо похідну першої складової (функції √x) за допомогою правила степені:

   (d/du) √u = (1/2√u) * (du/dx)

   де u = x, отже, du/dx = 1, і маємо:

   (d/du) √x = (1/2√x) * 1 = 1/(2√x)

   Тепер знайдемо похідну другої складової (5x² - 4x) за допомогою правила ланцюга:

   (d/dx) (5x² - 4x) = 10x - 4

   Зараз знаходимо похідну всього виразу за допомогою правила ланцюга:

   y'(x) = [(1/(2√x)) * (5x² - 4x)] + [√x * (10x - 4)]

   Тепер підставимо значення x₀ = 4:

   y'(4) = [(1/(2√4)) * (5(4)² - 4(4))] + [√4 * (10(4) - 4)]

   y'(4) = [(1/4) * (80 - 16)] + [2 * (40 - 4)]

   y'(4) = (20 - 4) + (80 - 8)

   y'(4) = 16 + 72

   y'(4) = 88

Отже, значення похідної функції в точці x₀ = 4 дорівнює 88.