Question

Из четырёх одинаковых жёстких стержней, соединённых шарнирно, собрали ромб со стороной L=50 см (см. рисунок). Этот ромб растягивают за две противолежащие вершины, перемещая их вдоль диагонали ромба в разные стороны с одинаковыми по величине скоростями v=1 м/с. Найдите величину ускорения двух других вершин в тот момент времени, когда ромб становится квадратом. Ответ выразите в м/с2 , округлив до сотых.

Answer 1

Если длина стержней L и расстояние между движущимися точками равно 2x, то координаты двух других вершин по вертикали равны по модулю следующей величине

$y = \sqrt{L^2-x^2}$

Так как $x = vt$ имеем

$y(t)=\sqrt{L^2-v^2t^2}\\\\\\\displaystyle v_y(t) = \dot{y}(t) = \frac{-v^2t}{\sqrt{L^2-v^2t^2}} = -\frac{v^2t}{y}\\\\a_y(t) = \dot{v_y}(t) = v^2\frac{v_yt-y}{y^2} = -v^2\frac{v^2t^2/y+y}{y^2}=-v^2\frac{x^2+y^2}{y^3}=\frac{-v^2L^2}{y^3}$

В момент когда ромб становится квадратом $x=y=L/\sqrt{2}$ поэтому

$\displaystyle a_y = -\frac{2\sqrt{2}v^2L^2}{L^3} = 2\sqrt{2}\frac{v^2}{L}\approx{-5.66}$

По модулю ускорение равно 5.66 м/с²