Question

Рассмотрим ряд
$\displaystyle \sum ^{\infty }_{n = 1} a _n ~~ , ~~ a_n = \bigg ( \frac{n + 3}{n + 1}\bigg ) ^{n(n + 1)}$
Пусть $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n } = e^a$ чему равно a?
Решите подробно с правильным оформлением в тетради или в LaTex !

Answer 1

$\displaystyle \sqrt[n]{a_n} = a_n^{1/n} = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{2}{p}\right)^p = \sqrt{\left(1+\frac{1}{q}\right)^q}$

Где p = n+1 и q = p/2. Так как при n стремящемся к бесконечности q = (n+1)/2 также стремится к бесконечности, подкоренное выражение стремится к e (второй замечательный предел), а само $a_n$ стремится к $e^{0.5}$. Показатель степени $a = 0.5$

Answer 2

Ответ:

a=2

Объяснение:

$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(\dfrac{n+3}{n+1}\right)^{n(n +1)}}=\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{n+3}{n+1}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{n+1}\right)^\frac{n+1}{2}\right]^2=e^2.$