Відомі координати вершин піраміди ABCD. Знайти методами векторної алгебри:
1) довжину ребра АВ;
2) косинус кута між ребрами AB і AD;
3) площу грані АВС;
4) об'єм піраміди;
Піраміду показати на рисунку:
A(6; -4; 5), B(-4; 4; 5), C(4; -6; 3), D(6; 0; -3).
Ответы
Ответ:
Для знаходження вказаних параметрів піраміди ABCD, використаємо векторну алгебру.
1) Довжина ребра AB може бути знайдена за допомогою формули відстані між двома точками:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
AB = √((-4 - 6)^2 + (4 - (-4))^2 + (5 - (-4))^2)
= √((-10)^2 + (8)^2 + (9)^2)
= √(100 + 64 + 81)
= √(245)
≈ 15.65
Таким чином, довжина ребра AB приблизно дорівнює 15.65 одиницям.
2) Косинус кута між ребрами AB і AD можна знайти за допомогою формули:
cosθ = (AB · AD) / (|AB| · |AD|)
Де AB · AD - скалярний добуток векторів AB і AD,
|AB| і |AD| - довжини векторів AB і AD.
AB · AD = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1)
= (-4 - 6)(6 - 6) + (4 - (-4))(0 - (-4)) + (5 - (-4))(-3 - (-4))
= (-10)(0) + (8)(4) + (9)(1)
= 32 + 36 + 9
= 77
|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
= √((-4 - 6)^2 + (4 - (-4))^2 + (5 - (-4))^2)
= √(245)
≈ 15.65
|AD| = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)
= √((4 - 6)^2 + (-6 - (-4))^2 + (3 - (-4))^2)
= √(74)
≈ 8.60
cosθ = (77) / (15.65 * 8.60)
≈ 0.56
Таким чином, косинус кута між ребрами AB і AD приблизно дорівнює 0.56.
3) Площа грані ABC може бути знайдена за допомогою формули піввекторного добутку:
Площа = 1/2 * |AB x AC|
Де AB x AC - піввекторний добуток векторів AB і AC.
AB x AC = ((y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1), (z2 - z1)(x3 - x1) - (x2 - x1)(z3 - z1), (x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1))
= ((4 - (-4))(3 - (-4)) - (5 - (-4))(-6 - (-4)), (5 - (-4))(4 - (-4)) - (-4 - (-4))(3 - (-4)), (-4 - (-4))(6 - (-4)) - (4 - (-4))(4 - (-4)))
= (8 * 7 - 9 * (-10), 9 * 8 - 0 * 7, 0 * 2 - 8 * 0)
= (56 + 90, 72, 0)
= (146, 72, 0)
|AB x AC| = √((146)^2 + (72)^2 + (0)^2)
= √(21316 + 5184 + 0)
= √(26500)
≈ 162.91
Площа = 1/2 * 162.91
≈ 81.46
Таким чином, площа грані ABC приблизно дорівнює 81.46 квадратним одиницям.
4) Об'єм піраміди можна знайти за допомогою формули:
Об'єм = 1/6 * |(AB · AC) x AD|
Де AB · AC - скалярний добуток векторів AB і AC,
|(AB · AC) x AD| - модуль піввекторного добутку скалярного добутку AB і AC з вектором AD.
(AB · AC) x AD = ((x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1), (x2 - x1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(x3 - x1), (y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1))
= ((-4 - 6)(3 - (-4)) - (4 - (-4))(6 - 6), (-4 - 6)(5 - (-4)) - (5 - (-4))(6 - 6), (4 - (-4))(5 - (-4)) - (5 - (-4))(4 - (-4)))
= (-10 * 7 - 8 * 0, -10 * 9 - 9 * 0, 8 * 9 - 9 * 8)
= (-70, -90, 0)
|(AB · AC) x AD| = √((-70)^2 + (-90)^2 + (0)^2)
= √(4900 + 8100 + 0)
= √(13000)
≈ 113.85
Об'єм = 1/6 * 113.85
≈ 18.98
Таким чином, об'єм піраміди приблизно дорівнює 18.98 кубічних одиниць.
Піраміда ABCD показана на рисунку:
```
B(-4, 4, 5)
/ \
/ \
/ \
/ \
A(6, -4, 5)---D(6, 0, -3)
\ /
\ /
\ /
\ /
C(4, -6, 3)
```
