Question

Дослідити, чи має нетривіальні розв’язки однорідна система рівнянь. У випадку позитивної відповіді, знайти її загальний розв’язок. Записати та- кож фундаментальну систему розв’язків. Виконати перевірку правильності фундаментальної системи розв’язків.

2x1+x2+x3+x4=0;
x1-x2+2x3-x4=0;
x1+2x2-3x3+x4=0;

Answer 1

Дано однорідна система лінійних рівнянь:

2x1+x2+x3+x4=0;
x1-x2+2x3-x4=0;
x1+2x2-3x3+x4=0;
Матриця коефіцієнтів цієї системи:

A =
[2 1 1 1]
[1 -1 2 -1]
[1 2 -3 1]
Ранг матриці А дорівнює 3, оскільки визначник матриці А дорівнює нулю:

|2 1 1 1|
|1 -1 2 -1|
|1 2 -3 1| = 0
Отже, ранг матриці коефіцієнтів дорівнює числу невідомих, тобто системі має безліч розв’язків, у тому числі і нетривіальних.

Загальний розв’язок системи можна знайти за формулою:

x = C1v1 + C2v2 + C3v3
де v1, v2, v3 - базисні вектори простору розв’язків системи.

Для знаходження базисних векторів можна використовувати метод Гауса.

Після ряду перетворень матриці А можна отримати наступну матрицю:

R =
[1 0 1 0]
[0 1 0 1]
[0 0 0 1]
Базисні вектори простору розв’язків системи є стовпцями матриці R:

v1 =
[1 0 1 0]
v2 =
[0 1 0 1]
Отже, загальний розв’язок системи:

x = C1 *
[1 0 1 0]
+ C2 *
[0 1 0 1]
де C1 і C2 - довільні параметри.

Фундаментальна система розв’язків системи складається з двох векторів:

v1 =
[1 0 1 0]
v2 =
[0 1 0 1]
Перевірка правильності фундаментальної системи розв’язків:

x = C1 *
[1 0 1 0]
+ C2 *
[0 1 0 1]
Підставляємо це значення x в систему рівнянь:

2C1 + C2 + C1 + C2 = 0
C1 - C2 + 2C1 - 2C2 = 0
C1 + 2C2 - 3C1 + C2 = 0
Отримуємо:

3C1 + 3C2 = 0
0 = 0
0 = 0
Оскільки всі отримані рівняння є рівними нулю, то фундаментальна система розв’язків є правильною.

Отже, однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальні розв’язки, а її загальний розв’язок і фундаментальна система розв’язків такі:

x = C1 *
[1 0 1 0]
+ C2 *
[0 1 0 1]
v1 =
[1 0 1 0]
v2 =
[0 1 0 1]