Ответы
Ответ:
(x - 3) * √14 + 5x - x² > 0
Спочатку розкладемо вираз:
(x - 3) * √14 + 5x - x² = (x - 3) * √14 - x² + 5x
Тепер спростимо:
(x - 3) * √14 - x² + 5x > 0
Тепер давайте розглянемо кожен доданок окремо:
(x - 3) * √14: Цей доданок виразу залежить від (x - 3). Щоб визначити область значень x, при яких цей доданок від'ємний, нам потрібно порівняти (x - 3) * √14 з нулем:
(x - 3) * √14 < 0
-x²: Цей доданок є квадратичним і завжди невід'ємним, оскільки від'ємний квадрат невід'ємний.
5x: Цей доданок відповідає за лінійний ріст і може бути або від'ємним, або додатнім, в залежності від знаку x.
Загалом, ми маємо два доданки, які визначають область значень x:
(x - 3) * √14 < 0
5x
Давайте спростимо перший доданок:
(x - 3) * √14 < 0
Тепер розглянемо два випадки:
(x - 3) < 0 і √14 > 0
(x - 3) > 0 і √14 < 0
Для першого випадку (x - 3) < 0 означає, що x < 3. А √14 > 0 завжди додатнє, тому цей випадок дає нам:
x < 3
Для другого випадку (x - 3) > 0 означає, що x > 3. Але √14 < 0 є неможливим, тому цей випадок не має розв'язку.
Тепер давайте розглянемо доданок 5x. Оскільки він завжди додатній, то він не впливає на знак нерівності.
Отже, рішення даної нерівності:
x < 3
Це означає, що рішенням нерівності є всі значення x, менше 3.
Методом інтервалів:
Для розв'язання нерівності (x - 3) * √14 + 5x - x² > методом інтервалів, спершу розкладемо її на два доданки:
(x - 3) * √14
5x - x²
Почнемо з першого доданка: (x - 3) * √14.
(x - 3) * √14 < 0
Для цього доданка нерівність буде виконуватися, коли x знаходиться у певному інтервалі.
Тепер розглянемо другий доданок: 5x - x².
5x - x² > 0
Для цього доданка нерівність також буде виконуватися, коли x знаходиться у певному інтервалі.
Отже, ми маємо дві нерівності, і наша мета - знайти об'єднання інтервалів, де обидві нерівності виконуються.
(x - 3) * √14 < 0:
З цього отримуємо інтервал: x < 3.
5x - x² > 0:
Ця нерівність має розв'язок вигляду x < a або x > b, де a і b - корені квадратного рівняння 5x - x² = 0. Розв'яжемо це рівняння:
5x - x² = 0
x(5 - x) = 0
Звідси маємо два корені: x = 0 і x = 5.
Отже, другий доданок виконується, коли x < 0 або x > 5.
Тепер об'єднаємо інтервали з обох доданків:
(x - 3) * √14 < 0: x < 3
5x - x² > 0: x < 0 або x > 5
Об'єднавши ці інтервали, отримуємо кінцевий результат:
x < 0 або 3 < x < 5
Це є відповіддю на дану нерівність методом інтервалів.
З графіком:
Щоб знайти розв'язок нерівності (x - 3) * √14 + 5x - x² > 0 та побудувати її графік, ми можемо спершу виразити ліву сторону нерівності у функціональному вигляді і після цього проаналізувати її зміну на числовій вісі.
Почнемо з виразу (x - 3) * √14 + 5x - x². Розкладемо його:
(x - 3) * √14 + 5x - x² = √14x - 3√14 + 5x - x²
Побудуємо графік цієї функції. Графік буде параболою та лінією. Для визначення відомих точок на графіку та побудови нерівності, знайдемо корені рівності:
√14x - 3√14 + 5x - x² = 0
Тепер ми можемо вирішити це рівняння за допомогою факторизації:
x(√14 - x) + 5(√14 - x) = 0
Тепер виділимо спільний множник:
(√14 - x)(x + 5) = 0
З цього рівняння ми отримуємо два корені: x = √14 та x = -5.
Тепер ми можемо побудувати графік функції та позначити на ньому ці точки:
Графік функції y = √14x - 3√14 + 5x - x² буде параболою з відкриттям вниз.
Точка A (0, -3√14) буде перетином функції з віссю Y.
Точка B (√14, 0) буде одним з коренів рівняння.
Точка C (-5, 0) буде іншим коренем рівняння.
Побудуємо графік:
Графік буде проходити через точки A, B і C.
Також функція відома своїм відкриттям вниз, тому на графіку вона буде лежати під осьою X.
Розділімо числову вісь на три інтервали: x < -5, -5 < x < √14, і x > √14.
Тепер аналізуємо графік функції в цих інтервалах:
На інтервалі x < -5 функція знаходиться нижче вісі Y, отже, вона від'ємна.
На інтервалі -5 < x < √14 функція перетинає вісь X, але залишається негативною.
На інтервалі x > √14 функція знаходиться вище вісі Y, отже, вона позитивна.
Тепер перевіримо початкову нерівність (x - 3) * √14 + 5x - x² > 0 на цих інтервалах:
На інтервалі x < -5, вираз менше нуля.
На інтервалі -5 < x < √14, вираз менше нуля.
На інтервалі x > √14, вираз більше нуля.
Оскільки нерівність виконується на інтервалі x > √14, розв'язком цієї нерівності є:
x > √14
Отже, розв'язком даної нерівності є x > √14.
Объяснение: