Question

Допоможіть благаю

Побудуйте переріз правильного тетраедра ABCD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер AB та AC. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо AB = 3.

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{P_{KMD}}=1,5+3\sqrt{3}$

$S_{KMD}=\dfrac{9\sqrt{11}}{16}$

Объяснение:

К - середина АВ, М - середина АС. Соединяем точки К, М и D.

KMD - искомое сечение.

а = АВ = 3.

КМ - средняя линия ΔАВС, равна половине ВС:

КМ = 0,5а = 1,5

DK и DM - медианы, а значит и высоты правильных треугольников ABD и ACD:

$DK=DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Периметр сечения:

$\boldsymbol{P_{KMD}}=1,5+2\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\boldsymbol{1,5+3\sqrt{3}}$

ΔKMD равнобедренный, проведем к основанию КМ высоту DH. Она является так же медианой.

$KH=\dfrac{KM}{2}=\dfrac{3}{4}$

Из прямоугольного треугольника DKH по теореме Пифагора:

$DH=\sqrt{DK^2-DH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=$

$=\sqrt{\dfrac{27}{4}-\dfrac{9}{16}}=\sqrt{\dfrac{99}{16}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{4}$

Площадь сечения:

$S_{KMD}=\dfrac{1}{2}\cdot KM\cdot DH$

$\boldsymbol{S_{KMD}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{3\sqrt{11}}{4}=\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{11}}{16}}$