Ответы
а) Розв'язуємо систему рівнянь за формулами Крамера:
У системі маємо наступні коефіцієнти перед змінними:
A = [[2, -3, -3],
[3, 1, 5],
[3, -2, 3]]
Ai = [[ 17, -3, -3],
[ 12, 1, 5],
[ -8, -2, 3]]
Ay = [[ 2, 17, -3],
[ 3, 12, 5],
[ 3, -8, 3]]
Az = [[ 2, -3, 17],
[ 3, 1, 12],
[ 3, -2, -8]]
Обчислюємо детермінанти:
det(A) = 2·(1·3 - (-2)·5) - (-3)·(3·3 - (-2)·5) - (-3)·(3·(-2) - 1·5) = 2·11 + 3·14 + 15 = 22 + 42 + 15 = 79
det(Ai) = 17·(1·3 - (-2)·5) - (-3)·(12·3 - (-2)·5) - (-3)·(12·(-2) - 1·5) = 17·11 + 3·58 + 15 = 187 + 174 + 15 = 376
det(Ay) = 2·(12·3 - (-8)·5) - 17·(3·3 - (-2)·5) - (-3)·(3·(-8) - 12·5) = 2·56 - 17·11 - 15·9 = 112 - 187 - 135 = -210
det(Az) = 2·(1·(-2) - 3·(-3)) - (-3)·(3·(-2) - 1·(-3)) - 17·(3·(-2) - 1·(-3)) = 2·7 - (-3)·(-3) - 17·(-3) = 14 - 9 + 51 = 56
Використовуючи формулу Крамера, знаходимо корені системи рівнянь:
x = det(Ai) / det(A) = 376 / 79 = 4.759
y = det(Ay) / det(A) = -210 / 79 = -2.658
z = det(Az) / det(A) = 56 / 79 = 0.709
Отже, розв'язок системи рівнянь за формулами Крамера: x = 4.759, y = -2.658, z = 0.709.
б) Матричний спосіб:
Систему можемо записати у матричному вигляді:
A * X = B,
де A - матриця коефіцієнтів системи рівнянь,
X - вектор змінних (x, y, z),
B - вектор вільних членів.
A = [[2, -3, -3],
[3, 1, 5],
[3, -2, 3]],
X = [x, y, z],
B = [12, -3, 8].
Щоб знайти вектор змінних X, потрібно розв'язати матричне рівняння:
X = A^(-1) * B,
де A^(-1) - обернена матриця до A.
Матриця A^(-1) розраховується за формулою:
A^(-1) = (1 / det(A)) * adj(A),
де det(A) - детермінант матриці A,
adj(A) - матриця алгебраїчних доповнень матриці A.
det(A) ми розрахували в пункті "а)" і воно дорівнює 79.
Матриця алгебраїчних доповнень adj(A) заповнюється наступним чином:
adj(A) = [[(1*3 - (-2)*5), -3*3 - (-2)*5, -3*1 - 1*3],
[3*3 - (-2)*5, (2*3 - (-2)*3), 2*1 - 3*3),
[3* (-2) - 1*5, 3*2 - 3*(-2), (2*1 - 3*(-2))]] =
= [[17, -9, -6],
[21, 12, -7],
[-11, 12, -2]].
Тепер можемо розрахувати матрицю обернену за формулою:
A^(-1) = (1 / det(A)) * adj(A) = (1 / 79) * [[17, -9, -6],
[21, 12, -7],
[-11, 12, -2]] =
= [[(17 / 79), (-9 / 79), (-6 / 79)],
[(21 / 79), (12 / 79), (-7 / 79)],
[(-11 / 79), (12 / 79), (-2 / 79)]].
Тепер знаходимо вектор змінних:
X = A^(-1) * B = [[(17 / 79), (-9 / 79), (-6 / 79)],
[(21 / 79), (12 / 79), (-7 / 79)],
[(-11 / 79), (12 / 79), (-2 / 79)]] * [12, -3, 8] =
= [ (17 / 79)*12 + (-9 / 79)*(-3) + (-6 / 79)*8,
(21 / 79)*12 + (12 / 79)*(-3) + (-7 / 79)*8,
(-11 / 79)*12 + (12 / 79)*(-3) + (-2 / 79)*8 ] =
= [ 4.759, -2.658, 0.709 ].
Отже, розв'язок системи рівнянь за матричним способом: x = 4.759, y = -2.658, z = 0.709.