Question

а) за формулами Крамера,
б) матричним способом,
2x-3y-3z = 12,
3x+y+52=-3,
3x - 2y +3z = 8.

Answer 1

а) Розв'язуємо систему рівнянь за формулами Крамера:

У системі маємо наступні коефіцієнти перед змінними:

A = [[2, -3, -3],

[3, 1, 5],

[3, -2, 3]]

Ai = [[ 17, -3, -3],

[ 12, 1, 5],

[ -8, -2, 3]]

Ay = [[ 2, 17, -3],

[ 3, 12, 5],

[ 3, -8, 3]]

Az = [[ 2, -3, 17],

[ 3, 1, 12],

[ 3, -2, -8]]

Обчислюємо детермінанти:

det(A) = 2·(1·3 - (-2)·5) - (-3)·(3·3 - (-2)·5) - (-3)·(3·(-2) - 1·5) = 2·11 + 3·14 + 15 = 22 + 42 + 15 = 79

det(Ai) = 17·(1·3 - (-2)·5) - (-3)·(12·3 - (-2)·5) - (-3)·(12·(-2) - 1·5) = 17·11 + 3·58 + 15 = 187 + 174 + 15 = 376

det(Ay) = 2·(12·3 - (-8)·5) - 17·(3·3 - (-2)·5) - (-3)·(3·(-8) - 12·5) = 2·56 - 17·11 - 15·9 = 112 - 187 - 135 = -210

det(Az) = 2·(1·(-2) - 3·(-3)) - (-3)·(3·(-2) - 1·(-3)) - 17·(3·(-2) - 1·(-3)) = 2·7 - (-3)·(-3) - 17·(-3) = 14 - 9 + 51 = 56

Використовуючи формулу Крамера, знаходимо корені системи рівнянь:

x = det(Ai) / det(A) = 376 / 79 = 4.759

y = det(Ay) / det(A) = -210 / 79 = -2.658

z = det(Az) / det(A) = 56 / 79 = 0.709

Отже, розв'язок системи рівнянь за формулами Крамера: x = 4.759, y = -2.658, z = 0.709.

б) Матричний спосіб:

Систему можемо записати у матричному вигляді:

A * X = B,

де A - матриця коефіцієнтів системи рівнянь,

X - вектор змінних (x, y, z),

B - вектор вільних членів.

A = [[2, -3, -3],

[3, 1, 5],

[3, -2, 3]],

X = [x, y, z],

B = [12, -3, 8].

Щоб знайти вектор змінних X, потрібно розв'язати матричне рівняння:

X = A^(-1) * B,

де A^(-1) - обернена матриця до A.

Матриця A^(-1) розраховується за формулою:

A^(-1) = (1 / det(A)) * adj(A),

де det(A) - детермінант матриці A,

adj(A) - матриця алгебраїчних доповнень матриці A.

det(A) ми розрахували в пункті "а)" і воно дорівнює 79.

Матриця алгебраїчних доповнень adj(A) заповнюється наступним чином:

adj(A) = [[(1*3 - (-2)*5), -3*3 - (-2)*5, -3*1 - 1*3],

[3*3 - (-2)*5, (2*3 - (-2)*3), 2*1 - 3*3),

[3* (-2) - 1*5, 3*2 - 3*(-2), (2*1 - 3*(-2))]] =

= [[17, -9, -6],

[21, 12, -7],

[-11, 12, -2]].

Тепер можемо розрахувати матрицю обернену за формулою:

A^(-1) = (1 / det(A)) * adj(A) = (1 / 79) * [[17, -9, -6],

[21, 12, -7],

[-11, 12, -2]] =

= [[(17 / 79), (-9 / 79), (-6 / 79)],

[(21 / 79), (12 / 79), (-7 / 79)],

[(-11 / 79), (12 / 79), (-2 / 79)]].

Тепер знаходимо вектор змінних:

X = A^(-1) * B = [[(17 / 79), (-9 / 79), (-6 / 79)],

[(21 / 79), (12 / 79), (-7 / 79)],

[(-11 / 79), (12 / 79), (-2 / 79)]] * [12, -3, 8] =

= [ (17 / 79)*12 + (-9 / 79)*(-3) + (-6 / 79)*8,

(21 / 79)*12 + (12 / 79)*(-3) + (-7 / 79)*8,

(-11 / 79)*12 + (12 / 79)*(-3) + (-2 / 79)*8 ] =

= [ 4.759, -2.658, 0.709 ].

Отже, розв'язок системи рівнянь за матричним способом: x = 4.759, y = -2.658, z = 0.709.