Question

Доведіть, що при а>=0, b>=0 виконується нерівність
(a²+9)(b²+4)>=24ab.

Answer 1

Ответ:

1) Припустимо, що a ≥ 0, b ≥ 0. Треба довести, що (a²+9)(b²+4) ≥ 24ab.

Розкриваємо дужки: a²b² + 4a² + 9b² + 36 ≥ 24ab.

Переносимо все в ліву частину: a²b² - 24ab + 4a² + 9b² + 36 ≥ 0.

Застосовуємо дискримінант: (ab - 2a - 3b)² + 27 + 36 ≥ 0.

Оскільки квадрат завжди не від'ємний, то цю нерівність можна записати так: (ab - 2a - 3b)² + 63 ≥ 0.

Отже, ми довели, що (a²+9)(b²+4) ≥ 24ab при a ≥ 0, b ≥ 0.

НАДЕЮСЬ ПОМОГЛА