Question

Дано трикутник ABC з координатами вершин A(0;3), B(-4;0), C(1;4). Знайти:
1. Довжину сторони BC
2. Рівняння прямої AB
3. Рівняння висоти проведеної з точки C
4. Рівняння медіани AM
5. Довжину висоти проведеної з точки C 6. Площу трикутника ABC
7. Кут B​

Answer 1

Давайте розглянемо кожне запитання окремо:

1. Довжина сторони BC може бути знайдена за допомогою відомих координат вершин B і C:

Довжина BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(-4 - 1)² + (0 - 4)²] = √[(-5)² + (-4)²] = √[25 + 16] = √41

2. Рівняння прямої AB можна знайти, використовуючи формулу для рівняння прямої, яка проходить через дві точки (x₁, y₁) і (x₂, y₂):

Рівняння прямої AB: y = mx + b

Спершу знайдемо коефіцієнт нахилу (m):

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (0 - 3) / (-4 - 0) = (-3) / (-4) = 3/4

Тепер, маючи значення m, ми можемо визначити значення b, підставивши координати однієї з вершин (наприклад, точки A):

3 = (3/4) * 0 + b
b = 3

Отже, рівняння прямої AB: y = (3/4)x + 3

3. Рівняння висоти проведеної з точки C може бути знайдене, використовуючи рівняння прямої, перпендикулярної до сторони AB і проходячої через точку C. Ми вже знайшли рівняння AB: y = (3/4)x + 3, і тепер ми можемо знайти рівняння висоти, знаючи, що маємо пряму зі супротивним нахилом (-4/3), так як вони є перпендикулярними:

Рівняння висоти проведеної з точки C: y = (-4/3)x + b

Зараз нам потрібно знайти b, підставивши координати точки C (1, 4):

4 = (-4/3) * 1 + b
b = 4 + 4/3 = 16/3

Отже, рівняння висоти проведеної з точки C: y = (-4/3)x + 16/3

4. Рівняння медіани AM буде рівнянням прямої, яка проходить через середину сторони BC (яку ми вже знайшли) і вершину A. Спершу знайдемо середину сторони BC, це буде середнє значення координат x та y для точок B і C:

x_M = (-4 + 1) / 2 = -3/2
y_M = (0 + 4) / 2 = 2

Отже, середина сторони BC має координати (-3/2, 2), і ми вже знаємо рівняння прямої, яка проходить через дві точки A(0,3) і M(-3/2, 2):

Рівняння медіани AM: y = mx + b

Спершу знайдемо коефіцієнт нахилу (m):

m = (2 - 3) / (-3/2 - 0) = (-1) / (-3/2) = 2/3

Тепер, маючи значення m, ми можемо визначити значення b, підставивши координати однієї з вершин (наприклад, точки A):

3 = (2/3) * 0 + b
b = 3

Отже, рівняння медіани AM: y = (2/3)x + 3

5. Довжину висоти проведеної з точки C можна знайти, використовуючи трикутник ABC і відомі координати вершин. Висота проводиться з точки C, тож вона перпендикулярна до сторони AB.

Відстань між точкою C(1,4) і прямою AB (за допомогою рівняння прямої AB: y = (3/4)x + 3) можна обчислити як відстань від точки до прямої. Формула для обчислення відстані d від точки (x₁, y₁) до прямої Ax + By + C = 0 виглядає так:

d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

У нашому випадку:
A = 3/4
B = -1
C = -3

Точка C(1,4):
x₁ = 1
y₁ = 4

Тепер підставимо ці значення у формулу:

d = |(3/4)*1 - 1*4 - 3| / √((3/4)² + (-1)²) = |3/4 - 4 - 3