Question

1. У трикутнику з вершинами А (–3; –1), В (1; –5), С (9; 3) сторони АВ і АС розділені у відношенні 3:1. Довести, що прямі, які з’єднують точку ділення з протилежними вершинами, і медіана АМ перетинаються в одній точці.

Answer 1

Для доведення цього твердження спершу знайдемо точки поділу сторін АВ і АС у відношенні 3:1.

Відомо, що точка поділу сторони АВ у відношенні 3:1 розташована таким чином:

x = (-3 + (3/4) * (1 - (-3))) = (-3 + (3/4) * 4) = 0

y = (-1 + (3/4) * (-5 - (-1))) = (-1 + (3/4) * (-4)) = -4

Отже, точка поділу сторони АВ має координати (0, -4).

Аналогічно, точка поділу сторони АС у відношенні 3:1 має координати (0, -4), так як вона розташована на тій самій горизонтальній лінії, що і точка поділу сторони АВ.

Тепер давайте знайдемо координати точки М, середньої точки сторони ВС:

x_M = (1 + 9) / 2 = 10 / 2 = 5
y_M = (-5 + 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Координати точки М дорівнюють (5, -1).

Тепер ми маємо точку поділу сторін АВ і АС, які мають координати (0, -4) і точку М з координатами (5, -1). Для того, щоб переконатися, що прямі, які з'єднують ці точки з протилежними вершинами, і медіана АМ перетинаються в одній точці, ми можемо використовувати властивість медіани: вона завжди перетинається в одній третій довжині від кожної вершини.

Точки А, В і С розділені у відношенні 3:1, і медіана АМ також перетинається у відношенні 3:1. Тому ми можемо бути впевненими, що ці прямі і медіана АМ перетинаються в одній і тій же точці.