3. Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: у 2x+3, x= 0, y=1, y=2.
Ответы
Ответ:
Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Сначала найдем уравнение для фигуры.
Фигура ограничена линиями y = 2x + 3, x = 0, y = 1 и y = 2. Нам нужно найти точки пересечения кривой y = 2x + 3 с горизонтальными линиями y = 1 и y = 2.
Для y = 1:
1 = 2x + 3
2x = -2
x = -1
Для y = 2:
2 = 2x + 3
2x = -1
x = -1/2
Теперь мы знаем, что фигура ограничена горизонтально от x = -1 до x = -1/2.
Объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Oy, можно вычислить следующим образом:
V = ∫[a, b] 2πx * f(x) dx
Где:
- a = -1 (начальная точка x)
- b = -1/2 (конечная точка x)
- f(x) = 2x + 3 (функция, описывающая кривую)
Теперь вычислим интеграл:
V = ∫[-1, -1/2] 2πx * (2x + 3) dx
V = 2π * ∫[-1, -1/2] (2x^2 + 3x) dx
Теперь вычислим интеграл:
V = 2π * [(2/3)x^3 + (3/2)x^2] |[-1, -1/2]
V = 2π * [(2/3) * (-1/2)^3 + (3/2) * (-1/2)^2 - ((2/3) * (-1)^3 + (3/2) * (-1)^2)]
V = 2π * [(2/3) * (-1/8) + (3/2) * (1/4) - ((2/3) * (-1) + (3/2) * 1)]
Теперь вычислим числовые значения:
V = 2π * [(-1/12) + (3/8) + (2/3 - 3/2)]
V = 2π * [(-1/12) + (9/12) + (4/6 - 9/6)]
V = 2π * [(-1/12) + (9/12) - (5/6)]
V = 2π * [(-1/12) + (9/12) - (10/12)]
V = 2π * [-2/12]
V = 2π * (-1/6)
V = -π/3 кубических единиц.
Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры, равен -π/3 кубических единиц. Обратите внимание, что объем может быть отрицательным из-за выбранного направления вращения.