Question

Про равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD
и BC известно, что AC = 16 см, ∠CAD = 45°. Найдите среднюю
линию трапеции.

Answer 1

Для нахождения средней линии равнобедренной трапеции можно воспользоваться тем фактом, что она равна полусумме длин оснований. В данной трапеции с основаниями AD и BC известно, что AC = 16 см и ∠CAD = 45°.

Используем свойства прямоугольного треугольника CAD, где ∠CAD = 45°. Поскольку треугольник CAD прямоугольный и у него известна гипотенуза (AC = 16 см) и угол (∠CAD = 45°), мы можем найти длины катетов, применяя тригонометрические функции.

Для прямоугольного треугольника с углом 45°, катеты равны друг другу. Пусть x будет длиной катета треугольника CAD. Тогда:

\[ x = AC \times \cos(45°) \]
\[ x = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 8\sqrt{2} \]

Таким образом, каждый катет треугольника CAD равен \(8\sqrt{2}\) см. Теперь найдем среднюю линию трапеции, которая равна полусумме длин оснований:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{AD + BC}{2} \]
\[ \text{Средняя линия} = \frac{8\sqrt{2} + 8\sqrt{2}}{2} \]
\[ \text{Средняя линия} = 8\sqrt{2} \text{ см} \]

Таким образом, средняя линия равнобедренной трапеции ABCD составляет \(8\sqrt{2}\) см.

Answer 2

Ответ:

Для знаходження средньої лінії трапеції ABCD можемо скористатися теоремою косинусів, оскільки маємо інформацію про сторони та кут у трапеції.

Позначимо средню лінію як "M", довжину сторони AD як "a", довжину сторони BC як "b", і довжину средньої лінії як "x".

З оголошеними вами величинами можемо скласти відомі відношення:

AC = 16 см (діагональ трапеції)

∠CAD = 45°

Використовуючи теорему косинусів для трикутника CAD, ми можемо виразити косинус кута ADC (cos(ADC)):

cos(ADC) = (AD² + AC² - CD²) / (2 * AD * AC)

Далі, ми знаємо, що трапеція ABCD є равнобедренною, тобто AD = BC = a, і ми можемо виразити діагональ CD відповідно:

CD = 2 * x

Після підстановки відомих значень, ми матимемо таке рівняння:

cos(ADC) = (a² + 16² - (2x)²) / (2 * a * 16)

Також, ми знаємо, що ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠CDA = 180° - 45° - 45° = 90°, отже, cos(ADC) = 0.

Тепер ми можемо вирішити рівняння відносно "x":

0 = (a² + 16² - (2x)²) / (2 * a * 16)

0 = a² + 16² - (2x)²

(2x)² = a² + 16²

4x² = a² + 256

x² = (a² + 256) / 4

x = √((a² + 256) / 4)

x = √((a² / 4) + 64)

x = (1/2) * √(a² + 256)

Отже, средня лінія трапеції ABCD дорівнює (1/2) * √(a² + 256) см.