Question

3. Знайдіть невизначені інтеграли:
​

Answer 1

Ответ:

a)1/5 e^(5x+1) + C

b)tg(3x-1) + C

Объяснение:

$\displaystyle a) \int e^{5x+1}dx$

Т.к. степень экспоненты содержит сложную функцию, то неопределенный интеграл будет равен:

$\displaystyle \boxed{\int e^{ax+b}dx = \frac{1}{a}\int e^{ax+b}dx}$⠀⠀⠀⠀

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

$\displaystyle a) \int e^{5x+1}dx = \frac{1}{5}\int e^{5x+1}dx= \frac{1}{5}e^{5x+1} + C$⠀⠀⠀⠀⠀⠀

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ $\displaystyle b) \int \frac{3dx}{\cos^2(3x-1)}$

Вынесем константу:

$\displaystyle 3 \,*\,\int \frac{1}{\cos^2(3x-1)} dx$

Интеграл 1/cos²x = tgx + C, но у нас функция сложная, поэтому вместо "х" будет стоять весь аргумент косинуса.

$\displaystyle 3 \,*\,\int \text{tg(3x-1)}dx$

Свойство:

$\displaystyle \boxed{\int f(ax + b)dx = \frac{1}{a}\int f(ax+b)dx}$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

$\displaystyle 3 \,*\,\frac{1}{3}\int \text{tg(3x-1)}dx = \text{tg(3x-1)} + C$