30 баллов. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках (-3; -2), (-2; 5),
(5; 6), (4; -1) — ромб. Знайдіть його площу та периметр.
Ответы
Усі сторони мають однакову довжину.
Діагоналі мають перпендикулярність одна до одної і діляться навпіл.
Перевіримо першу умову: однакова довжина сторін.
Використовуючи координати вершин чотирикутника, ми можемо обчислити довжини сторін за допомогою формули відстані між двома точками:
Для сторони між (-3; -2) і (-2; 5):
�
�
=
(
−
2
−
(
−
3
)
)
2
+
(
5
−
(
−
2
)
)
2
=
1
+
49
=
50
.
AB=
(−2−(−3))
2
+(5−(−2))
2
=
1+49
=
50
.
Для сторони між (-2; 5) і (5; 6):
�
�
=
(
5
−
(
−
2
)
)
2
+
(
6
−
5
)
2
=
49
+
1
=
50
.
BC=
(5−(−2))
2
+(6−5)
2
=
49+1
=
50
.
Для сторони між (5; 6) і (4; -1):
�
�
=
(
4
−
5
)
2
+
(
−
1
−
6
)
2
=
1
+
49
=
50
.
CD=
(4−5)
2
+(−1−6)
2
=
1+49
=
50
.
Для сторони між (4; -1) і (-3; -2):
�
�
=
(
−
3
−
4
)
2
+
(
−
2
−
(
−
1
)
)
2
=
49
+
1
=
50
.
DA=
(−3−4)
2
+(−2−(−1))
2
=
49+1
=
50
.
Отже, всі сторони мають однакову довжину, тобто вони рівні між собою. Тепер перевіримо другу умову - перпендикулярність діагоналей.
Перевіримо другу умову: перпендикулярність діагоналей.
Діагоналі цього чотирикутника будуть лініями, які з'єднують протилежні вершини:
Діагональ BD з'єднує вершини (-2; 5) і (4; -1).
Діагональ AC з'єднує вершини (-3; -2) і (5; 6).
Тепер обчислимо коефіцієнти напрямку для обох діагоналей та перевіримо, чи вони є перпендикулярними. Коефіцієнт напрямку між двома точками
(
�
1
,
�
1
)
(x
1
,y
1
) і
(
�
2
,
�
2
)
(x
2
,y
2
) розраховується за формулою:
�
=
�
2
−
�
1
�
2
−
�
1
.
k=
x
2
−x
1
y
2
−y
1
.
Для діагоналі BD:
�
�
�
=
(
−
1
−
5
)
(
4
−
(
−
2
)
)
=
−
6
6
=
−
1.
k
BD
=
(4−(−2))
(−1−5)
=
6
−6
=−1.
Для діагоналі AC:
�
�
�
=
(
6
−
(
−
2
)
)
(
5
−
(
−
3
)
)
=
8
8
=
1.
k
AC
=
(5−(−3))
(6−(−2))
=
8
8
=1.
Як бачимо, коефіцієнти напрямку діагоналей BD і AC мають протилежні знаки (один дорівнює -1, а інший - 1), що свідчить про їхню перпендикулярність.
Отже, за визначенням ромба (фігура зі всіма сторонами однакової довжини і перпендикулярними діагоналями), ми можемо стверджувати, що заданий чотирикутник є ромбом.
Знайдемо площу та периметр ромба.
Площу ромба можна обчислити за формулою:
�
=
�
1
⋅
�
2
2
,
S=
2
d
1
⋅d
2
,
де
�
1
d
1
і
�
2
d
2
- діагоналі ромба.
Знаємо, що обидві діагоналі рівні за довжиною і дорівнюють
50
50
, тому:
�
=
50
⋅
50
2
=
50
2
=
25.
S=
2
50
⋅
50
=
2
50
=25.
Отже, площа ромба дорівнює 25 квадратним одиницям.
Тепер знайдемо периметр ромба. Оскільки всі сторони ромба однакової довжини, можна використовувати формулу:
�
=
4
⋅
�
,
P=4⋅a,
де
�
a - довжина однієї сторони.
Отже, периметр ромба:
�
=
4
⋅
50
=
4
50
.
P=4⋅
50
=4
50
.
Після спрощення виразу:
�
=
4
25
⋅
2
=
4
⋅
5
2
=
20
2
.
P=4
25⋅2
=4⋅5
2
=20
2
.
Отже, периметр ромба дорівнює
20
2
20
2
одиницям.