№4 Площина a , паралельна основі ВС трапеції АВСD, перетинає бічні сторони АВ і СD в точках
М і К відповідно. М середина АВ,
АD = 10 см, ВС = 4 см. Знайдіть МК.
№5. Трикутник ВЕС і прямокутник АВСD не лежать в одній площині. Точки М і К – середини сторін
ВЕ і ЕС відповідно. Знайдіть АD, якщо МК – 4 см.
Помогите срочно даю 90 баллов!!
Ответы
№4. За теоремою про середню лінію в трапеції, МК ділиться на дві рівні частини точкою перетину, яка є серединою основи ВС. Таким чином, МК дорівнює половині суми основ трапеції: МК = (АВ + СD)/2. Оскільки АD = СВ = 10 см, а ВС = 4 см, то МК = (10 + 4)/2 = 7 см.
Відповідь: МК = 7 см.
№5. Оскільки М і К є серединами сторін трикутника ВЕС, то ВМ = МЕ і КС = СЕ. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АВМ з гіпотенузою АВ і катетами АМ і ВМ, маємо:
АМ² + ВМ² = АВ²
Аналогічно, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АКС з гіпотенузою АК і катетами АК і КС, маємо:
АК² + КС² = АС²
Оскільки МК = 4 см, то ВС = 2МК = 8 см. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ВСК з гіпотенузою ВС і катетами КС і ВК, маємо:
КС² + ВК² = ВС²
Оскільки ВК = АМ і КС = СЕ, то можна записати:
АМ² + ВМ² + КС² + СЕ² = АВ² + ВС² + АС²
Замінюємо ВС на 8 см і КС на СЕ за допомогою відомих рівностей:
АМ² + ВМ² + 2СЕ² = АВ² + 64 + АС²
Оскільки ВЕС і АВСD не лежать в одній площині, то трикутник ВЕС і прямокутник АВСD не мають спільних точок, окрім точки В. Тому можна записати:
АВ = АМ + МК + КС = 2М + 4
Підставляємо це значення в попередню рівність і замінюємо ВМ на МЕ за допомогою відомої рівності:
АМ² + МЕ² + 2СЕ² = (2М + 4)² + 64 + АС²
Оскільки МЕ = КС = СЕ, то можна записати:
АМ² + 3СЕ² = 4М² + 16М + 100 + АС²
За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АСД з гіпотенузою АС і катетами АС і СД, маємо:
АС² = АД² + СД²
Оскільки СД = ВС = 8 см, то можна записати:
АС² = АД² + 64
Підставляємо це значення в попередню рівність і отримуємо квадратне рівняння відносно М:
АМ² + 3СЕ² = 4М² + 16М + 100 + АД² + 64
3СЕ² - 16М = 3АД² - 36
Оскільки СЕ = ВС/2 = 4 см, то можна записати:
12 - 16М = 3АД² - 36
3АД² = 16М + 48
АД² = (16М + 48)/3
Оскільки МК = 4 см, то ВС = 8 см і АВ = 2М + 4, то можна знайти М:
М = (АВ - 4)/2 = (2МК + 4 - 4)/2 = 2 см
Підставляємо це значення в попередню формулу і знаходимо АД:
АД² = (16М + 48)/3 = (16*2 + 48)/3 = 20
АД = √20 = 2√5 см
Відповідь: АД = 2√5 см.