Question

Змінити порядок інтегрування в інтегралі

​

Answer 1

Ответ:

Изменить порядок интегрирования .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^2\, dy\int\limits_{y}^{\sqrt{8-y^2}}\, f(x,y)\, dx$      

Область интегрирования можно задать системой неравенств .

$\bf D:\ \left\{\begin{array}{l}\bf y\leq x\leq \sqrt{8-y^2}\ ,\\\bf 0\leq y\leq 2\ .\end{array}\right$    

$\bf x=\sqrt{8-y^2}\ \ \Rightarrow \ \ x^2=8-y^2\ \ ,\ \ x^2+y^2=8\ \ ,\ \ y^2=8-x^2\ ,\ \ y=\pm \sqrt{8-x^2}$

Эту область можно разбить на две области :

$\bf D_1:\left\{\begin{array}{l}\bf 0\leq y\leq x\ ,\\\bf 0\leq x\leq 2\end{array}\right\ +\ \ D_2:\left\{\begin{array}{l}\bf 0\leq y\leq +\sqrt{8-x^2}\ ,\\\bf 2\leq x\leq \sqrt8\ \end{array}\right$        

  $\bf \displaystyle \int\limits_0^2\, dy\int\limits_{y}^{\sqrt{8-y^2}}\, f(x,y)\, dx=\int\limits_0^2\, dx\int\limits_0^{x}\, f(x,y)\, dy+\int\limits_2^{\sqrt8}\, dx \int\limits_0^{\sqrt{8-x^2}}\, f(x,y)\, dy$