Обчислити масу пластинки, обмеженої заданими лініями при заданій густині:
x2+y²=1, x²+y²=16,x=0; y=0 (y≥0,x≥0);u=(x+3y)/(x² + y²).
Ответы
Ответ:
Задача полягає в обчисленні маси пластинки, яка обмежена заданими лініями та має задану густину.
Спочатку ми повинні знайти область, обмежену заданими лініями. За умовою обмеженими лініями є:
1. x² + y² = 1
2. x² + y² = 16
3. x = 0
4. y = 0 (y ≥ 0, x > 0)
Ці лінії задають кільцеву область між колами з радіусами 1 та 4. Щоб обчислити масу пластинки, необхідно знайти площу цієї області.
Ми можемо використати поларні координати для зручності обчислення площі. У поларних координатах рівняння кола можна записати як r² = const. Тоді наші лінії в поларних координатах виглядатимуть так:
1. r = 1
2. r = 4
3. θ = π/2
4. θ = 0 (π/2 ≤ θ ≤ π/2)
Ми знайдемо площу кільця, віднімаючи площу внутрішнього кола з радіусом 1 від площі зовнішнього кола з радіусом 4.
Площа круга S = πr², тому площа кільця буде:
S = π * (4² - 1²) = 15π
Далі, ми застосуємо формулу для обчислення маси пластинки:
Маса (m) = густина (μ) * об'єм (V)
Оскільки густина μ задана як (x + 3y) / (x² + y²), нам потрібно обчислити середні значення x та y на площі кільця.
За властивостями симетрії, середнє значення x на площі кільця буде 0 (x змінюється від -r до r, але відносносно центра круга x буде від'ємним та додатним в однаковій мірі).
Тому ми обчислимо середнє значення y:
y = 1/π * (∫[0, 2π] ∫[1, 4] y * r dr dθ) / 15π
За умовою, y ≥ 0, отже інтегрування від 1 до 4 включає всю площу кільця. Також, оскільки y змінюється від 0 до √(r² - x²), ми виразимо його через поларні координати:
y = r * sin(θ)
Тому виконуємо розрахунки:
y = 1/π * (∫[0, 2π] ∫[1, 4] r * sin(θ) * r dr dθ) / 15π
= 1/π * (∫[0, 2π] sin(θ) dθ) / 15
Оскільки ∫ sin(θ) dθ = -cos(θ), виконуємо остаточний розрахунок:
y = 1/π * [ -cos(2π) + cos(0) ] / 15
= 1/π * [ -1 - 1 ] / 15
= -2/π * 1/15
= -2/15π
Отже, середнє значення y на площі кільця дорівнює -2/15π.
Знаючи середнє значення x і y, ми можемо обчислити об'єм V пластинки:
V = S * x * y = 15π * 0 * (-2/15π) = 0
Таким чином, об'єм пластинки V дорівнює нулю. Оскільки об'єм пластинки дорівнює нулю, маса пластинки також буде рівна нулю.
Отже, маса пластинки, обмеженої заданими лініями, при заданій густині μ=(x+3y)/(x²+y²) дорівнює нулю.