При каком значении (y) точки M(2;y;0), A(5;2;1), B(3;-1;2), C(2;0;1) будут лежать в одной плоскости
Ответы
Ответ:
Щоб точки M(2;y;0), A(5;2;1), B(3;-1;2) і C(2;0;1) лежали в одній плоскості, ми можемо використовувати векторну та скалярну тривимірні алгебраїчні рівняння.
Вектори AB і AC визначають площину, в якій лежать точки A, B і C. Якщо точка M також лежить у цій площині, то скалярний добуток векторів AM і нормалі до площини буде рівний нулю.
Для точки M(2;y;0) вектор AM буде (2-5, y-2, 0-1), тобто (-3, y-2, -1).
Нормаль до площини, утвореної точками A, B і C, можна знайти, взявши векторний добуток векторів AB і AC.
Вектор AB = (5-3, 2-(-1), 1-2) = (2, 3, -1)
Вектор AC = (2-3, 0-(-1), 1-2) = (-1, 1, -1)
Тепер знайдемо векторний добуток:
n (нормаль) = AB x AC = ((3*(-1) - (-1)*1), ((-1)*(-1) - 2*(-1)), (2*1 - 3*(-1))) = (-2, -1, 5)
Тепер, щоб перевірити, чи лежить точка M в одній площині з A, B і C, можемо взяти скалярний добуток вектора AM і нормалі n і рівняти його з нулем:
(-3, y-2, -1) * (-2, -1, 5) = -3*(-2) + (y-2)*(-1) + (-1)*5 = -6 - y + 2 - 5 = -9 - y
Тепер рівняємо це