Question

Діагоналі опуклого чотирикутника рівні. Доведіть, що відрізки, які сполучають середини його протилежних сторін, перпендикулярні.



ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО

20 балов дам

Answer 1

Ответ:

Доказано, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, перпендикулярны.

Объяснение:

Диагонали выпуклого четырехугольника равны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, перпендикулярны.

Дано: ABCD - четырехугольник;

BD = AC = диагонали;

Е; Н; К; М - серидины АВ, ВС, СD, AD соответственно.

Доказать: ЕК ⊥ МН

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔАВС;

АЕ = ЕВ;  ВН = НС   ⇒   ЕН - средняя линия.

• Средняя линия равна половине стороны, которую не пересекает.

⇒ ЕН = 1/2 АС

2. Рассмотрим ΔАСD;

AM = MD;  DK = KC   ⇒   MK - средняя линия.

МК = 1/2 АС

Из пунктов 1 и 2 ⇒ ЕН = МК = 1/2 АС

3. Рассмотрим ΔABD.

AE = EB;   AM = MD  ⇒   EM - средняя линия.

ЕМ = 1/2 BD

4. Рассмотрим ΔВСD;

BH = HC;   DK = KC   ⇒ HK - средняя линия.

НК = 1/2 BD

Из пунктов 3 и 4 ⇒ ЕМ = НК = 1/2 BD

5. По условию АС = BD

⇒   ЕН = МК = ЕМ = НК

• Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то это параллелограмм.

• Параллелограмм, у которого все стороны равны - ромб.

⇒ ЕМНК - ромб.

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

⇒   ЕК ⊥ МН.

#SPJ1