СРОЧНО!!!! 100 БАЛЛОВ вычислите объем тела образованного при вращении вокруг оси оу фигуры y=2x+5; x=o ; y= 1 y = 3
желательно с графиком
Ответы
Ответ:
Давайте рассмотрим задачу по частям.
1. **Ограничения:**
- \(y = 2x + 5\)
- \(x = 0\)
- \(y = 1\)
- \(y = 3\)
2. **Находим точки пересечения:**
a) \(y = 1\) и \(y = 2x + 5\):
\(1 = 2x + 5\)
\(2x = -4\)
\(x = -2\)
Таким образом, точка (-2, 1) является одним из пересечений.
b) \(y = 3\) и \(y = 2x + 5\):
\(3 = 2x + 5\)
\(2x = -2\)
\(x = -1\)
Точка (-1, 3) является другим пересечением.
Теперь у нас есть часть линии \(y = 2x + 5\), которая находится между точками (-2, 1) и (-1, 3) и будет вращаться вокруг оси Oy.
3. **Вычисляем объем при вращении:**
Объем тела, образованного при вращении кривой вокруг оси Oy, можно найти по формуле:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} x^2(y) \, dy \]
где \(x(y)\) — это функция x, выраженная через y.
Нам нужно выразить x через y из уравнения \(y = 2x + 5\):
\(x = \frac{y-5}{2}\)
Теперь, когда у нас есть \(x(y)\), мы можем вычислить интеграл:
\[ V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{y-5}{2}\right)^2 \, dy \]
Решение этого интеграла даст:
\[ V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{y^2 - 10y + 25}{4}\right) \, dy \]
\[ V = \pi \left[ \frac{y^3}{12} - \frac{5y^2}{4} + \frac{25y}{4} \right]_{1}^{3} \]
Подставим границы и найдем значение:
\[ V = \pi \left( \frac{27}{12} - \frac{45}{4} + \frac{75}{4} - \frac{1}{12} + \frac{5}{4} - \frac{25}{4} \right) \]
\[ V = \pi \left( \frac{26}{12} + \frac{10}{4} \right) = \frac{22\pi}{3} \]
Таким образом, объем тела равен \( \frac{22\pi}{3} \).
К сожалению, я не могу отобразить график в этом текстовом формате. Но вы можете воспользоваться онлайн-графиками или программами для построения графиков, чтобы визуализировать это уравнение и его вращение вокруг оси Oy.