Question

Может ли угол между боковой стороной равнобедренного треугольника и его медианой, проведённой к другой боковой стороне, быть больше 30°?

Answer 1

Нет, угол между боковой стороной равнобедренного треугольника и его медианой, проведенной к другой боковой стороне, не может быть больше 30°. В равнобедренном треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами. Угол между боковой стороной и медианой, проведенной к другой боковой стороне, всегда будет равен или меньше 30°, так как в равнобедренном треугольнике боковые углы равны, и медиана делит основание пополам, что создает равные треугольники внутри него.

Answer 2

Решение:

Назовём угол между боковой стороной и медианой, проведённой к  другой боковой стороне, углом α. Предположим, что α > 30°, тогда sin α > 0,5. Пусть AB = 2x, тогда BC = 2x, а поскольку AM - медиана, то BM = MC = x (см рисунок).

Опустим высоту BH на медиану AM. В △AHB: BH = AB * sin α = 2x * sin α. Поскольку sin α > 0.5, то 2x * sin α > x ⇒ BH > x.

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой, то есть BH - кратчайшее расстояние от точки B до прямой AM, однако у нас получилось, что BH > BM, а такого быть не может, следовательно наше предположение, что α > 30° неверно.

Ответ: не может.