Ответы
Чтобы найти угол между плоскостью и прямой, нам нужно знать нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой.
Найдем первым делом направляющий вектор прямой AB:
AB = B - A = (-1, 0, 1) - (3, -1, 2) = (-4, 1, -1)
Далее, чтобы найти нормальный вектор плоскости BCD, возьмем два вектора, лежащих в плоскости BCD: BC и BD, и найдем их векторное произведение.
BC = C - B = (1, 7, 3) - (-1, 0, 1) = (2, 7, 2)
BD = D - B = (8, 5, 8) - (-1, 0, 1) = (9, 5, 7)
Теперь найдем векторное произведение BC и BD:
BC x BD = (2, 7, 2) x (9, 5, 7) = (-9, -10, 23)
Таким образом, нормальный вектор плоскости BCD равен (-9, -10, 23).
Наконец, найдем угол между векторами AB и нормальным вектором плоскости BCD, используя формулу скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (AB • N) / (|AB| * |N|),
где AB • N - скалярное произведение векторов AB и N,
|AB| и |N| - длины векторов AB и N соответственно.
AB • N = (-4, 1, -1) • (-9, -10, 23) = 35
|AB| = √((-4)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √18
|N| = √((-9)^2 + (-10)^2 + 23^2) = √740
cos(θ) = 35 / (√18 * √740) ≈ 0.549
Теперь найдем угол θ, используя функцию обратного косинуса:
θ ≈ arccos(0.549) ≈ 57.84 градусов.
Таким образом, угол между плоскостью BCD и прямой AB составляет приблизительно 57.84 градусов.