Question

знайти похідні dy/dx, якщо a) y =
$x\sqrt{( 1 + {x}^{2} } ) \div (1 - x)$
b) y=
$ln(arcctg(x \div 3))$
.

друге завдання.
Знайти d^2y/dx^2;
a)y=
${x}^{3} \div (1 - {x}^{2} )$
б)x=
$arctg \: t$
y=
${t}^{2} \div 2$
.
​

Answer 1

Ответ:d^2y/dx^2 = d/dx (1 / (1 + t²))

          = -2t / (1 + t²)²

Пошаговое объяснение:a) Для знаходження похідної dy/dx використаємо правило диференціювання добутку та частки:

dy/dx = (x√(1+x²) * (1-x) - х * √(1+x²) * (-1)) / (1-x)²

      = x√(1+x²) + х²√(1+x²) / (1-x)²

b) Для знаходження похідної dy/dx використаємо правило диференціювання складеної функції:

dy/dx = 1 / (arccrg(x÷3) * 3)

Друге завдання:

a) Для знаходження другої похідної d^2y/dx^2 використаємо правило диференціювання частки:

d^2y/dx^2 = [(2x(1-x²) - 3x²(-2x))/(1-x²)²] / (1-x²)

          = (2x - 2x⁴ + 6x³) / (1 - 2x² + x⁴)

б) Для знаходження другої похідної d^2y/dx^2 використаємо правило диференціювання складеної функції:

d^2y/dx^2 = d/dx (1 / (1 + t²))

          = -2t / (1 + t²)²