Question

Кут ABC
A(5;1)
B(-3;7)
C(-2;2)
Знайти:
1.довжину вектора BC
2.рівняння висоти AD
3.рівняння медіани CE
4.Величину кута А
5.Sкута ABC-?

Answer 1

Давайте розв'яжемо ці задачі по порядку.

1. Довжина вектора BC:
Для знаходження довжини вектора BC, використаємо формулу відстані між двома точками в декартовій системі координат:

Довжина BC = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

BC = √[(-3 - (-2))² + (7 - 2)²]
BC = √[(-3 + 2)² + (7 - 2)²]
BC = √[(-1)² + (5)²]
BC = √[1 + 25]
BC = √26

2. Рівняння висоти AD:
Для знаходження рівняння висоти AD, можна використовувати координати точок A та D, де D - середня точка BC. Рівняння прямої виглядає так:

AD: y = mx + c

Де m - коефіцієнт нахилу, а c - вільний член. Коефіцієнт нахилу обчислюється як відношення різниці у координатах y до різниці у координатах x між точками A та D:

m = (yD - yA) / (xD - xA)

m = (2 - 1) / (-2 - 5)
m = 1 / (-7)

Знаючи m, можемо знайти c, використовуючи координати точки A:

1 = (1 / (-7)) * 5 + c
1 = (-5 / 7) + c

Переносимо -5/7 на іншу сторону:

c = 1 + 5/7
c = 12/7

Таким чином, рівняння висоти AD виглядає так:

AD: y = (1 / -7)x + 12/7

3. Рівняння медіани CE:
Медіана CE - це лінія, яка проходить через середню точку відрізка CE та вершину A. Середня точка відрізка CE визначається як середнє значення координат x та y точок C і E:

xE = (-2 + 5) / 2 = 3/2
yE = (2 + 1) / 2 = 3/2

Тепер, можемо використовувати координати точок E та A для знаходження рівняння медіани CE:

CE: y = mx + c

m = (yA - yE) / (xA - xE)
m = (1 - 3/2) / (5 - 3/2)
m = (2/2 - 3/2) / (10/2 - 3/2)
m = (-1/2) / (10/2 - 3/2)
m = (-1/2) / (5 - 3/2)
m = (-1/2) / (5 - 3/2)

Знаючи m, можемо знайти c, використовуючи координати точки E:

3/2 = (-1/2) * (3/2) + c
3/2 = (-3/4) + c

Переносимо -3/4 на іншу сторону:

c = 3/2 + 3/4
c = (6/4) + (3/4)
c = 9/4

Таким чином, рівняння медіани CE виглядає так:

CE: y = (-1/2)x + 9/4

4. Величина кута А:
Величину кута A між векторами AB і AC можна обчислити за допомогою скалярного добутку векторів:

cos(A) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

Де AB · AC - скалярний добуток векторів AB і AC, |AB| - довжина вектора AB, |AC| - довжина вектора AC.

Спочатку знайдемо AB та AC:

AB = √[(-3 - 5)² + (7 - 1)²]
AB = √[(-8)² + (6)²]
AB = √[64 + 36]
AB = √100
AB = 10

AC = √[(-2 - 5)² + (2 - 1)²]
AC = √[(-7)² + (1)²]
AC = √[49 + 1]
AC = √50

Тепер знайдемо cos(A):

cos(A) = (AB · AC) / (10 * √50)

Тепер можемо знайти величину кута A, використовуючи обернений косинус (арккосинус):

A = arccos(cos(A))

5. Площа трикутника ABC:
Площа трикутника може бути обчислена за допомогою формули площі грані:

SABC = 1/2 * |AB| * |AC| * sin(A)

Де AB і AC - довжини векторів AB і AC, A - величина кута між цими векторами (знайдений в попередньому пункті).