Даны координаты точек А,В,С. Найти:
a) уравнение стороны АС треугольника АВС;
b) уравнение высоты ВН треугольника АВС, ее длину;
c) уравнения медиан СС1.
А(3;1) В(-4;0) С(1;-5)
Ответы
Ответ:
Для решения этой задачи, давайте выполним следующие шаги:
a) Найдем уравнение стороны AC треугольника ABC.
b) Найдем уравнение высоты BH треугольника ABC и вычислим ее длину.
c) Найдем уравнения медианы CC1 треугольника ABC.
a) Уравнение стороны AC:
Для нахождения уравнения стороны AC, мы можем использовать формулу для вычисления уравнения прямой, проходящей через две точки. Точки A(3;1) и C(1;-5) находятся на стороне AC.
Уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), имеет вид:
y - y1 = ( (y2 - y1) / (x2 - x1) ) * (x - x1)
Подставим координаты точек A и C:
y - 1 = ( (-5 - 1) / (1 - 3) ) * (x - 3)
Упростим:
y - 1 = ( -6 / -2 ) * (x - 3)
y - 1 = 3 * (x - 3)
Теперь у нас есть уравнение стороны AC:
y = 3x - 8
b) Уравнение высоты BH и ее длина:
Высота BH проведена из вершины B перпендикулярно стороне AC. Поскольку мы уже нашли уравнение стороны AC (y = 3x - 8), то уравнение высоты будет перпендикулярным и иметь вид:
y = (-1/3)x + b
Теперь найдем точку пересечения стороны AC и высоты BH. Для этого решим систему уравнений:
1. y = 3x - 8 (уравнение стороны AC)
2. y = (-1/3)x + b (уравнение высоты BH)
Из равенства левых частей уравнений получаем:
3x - 8 = (-1/3)x + b
Упростим и решим относительно b:
3x + (1/3)x = 8 + b
(10/3)x = 8 + b
Теперь найдем координаты точки H, которая является пересечением стороны AC и высоты BH:
x = (3/10) * (8 + b)
Поскольку H лежит на стороне AC, подставим x в уравнение стороны AC (y = 3x - 8):
y = 3 * [(3/10) * (8 + b)] - 8
Упростим это уравнение и найдем b:
y = (9/10)(8 + b) - 8
y = (9/10)(8 + b) - (80/10)
y = (9/10)(8 + b - 8)
y = (9/10)b
Теперь у нас есть уравнение высоты BH:
y = (9/10)b
Чтобы найти длину высоты, нужно найти расстояние между точкой B и точкой H. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:
Длина = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Координаты точек B и H:
B(-4;0)
H(x, y) - ранее найденные
Длина BH = √((-4 - x)^2 + (0 - y)^2)
Длина BH = √((-4 - x)^2 + (-y)^2)
Теперь мы можем подставить координаты точки H и решить это уравнение для нахождения длины высоты BH.
c) Уравнения медианы CC1:
Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка C1 - середина стороны AB.
Для нахождения уравнения медианы CC1, мы сначала найдем координаты C1. Для этого найдем среднее арифметическое координат точек A и B:
C1(x, y) = [(x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2]
Теперь мы можем построить уравнение прямой, проходящей через точку C и C1. Угловой коэффициент этой прямой можно найти, используя координаты C и C1:
Угловой коэффициент = (y_C - y_C1) / (x_C - x_C1)
Подставляем координаты C(1;-5) и C1(x, y):
Угловой коэффициент = (-5 - y) / (1 - x)
Теперь мы имеем уравнение прямой, проходящей через C и C1:
y = (-5 - y) / (1 - x) * (x - 1)
Решим это уравнение относительно y:
y = (-5 - y) * (x - 1)
y = -5 - yx + y
Подставим yx в левую сторону:
yx + y = -5
Формула для медианы CC1:
yx + y = -5
Таким образом, у нас есть уравнение медианы CC1.