1 вариант
1. а) Существует ли выпуклый четырехугольник, углы которого равны 90º,70º,550, 145°. Ответ обоснуйте. b) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 23400?
[2]
[2]
2. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 4 м и 7 м и меньшим основанием 5 м. Найдите периметр треугольника.
[3]
3. В треугольнике АВС, АВ=АС. Медиана к боковой стороне делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки, больший из которых равен 6. Найдите длину этой высоты.
[4]
4. В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков ОМ, ОК, ON и OZ - параллелограмм.
[4] помогите пожалуйста!! даю 48 балов !!!
Ответы
Ответ:
1 вариант:
1. а) Нет, не существует выпуклого четырехугольника с углами 90°, 70°, 550°, 145°, так как сумма углов выпуклого четырехугольника должна быть равна 360°.
b) Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2) * 180°, где n - количество сторон многоугольника. Исходя из этого, n = (23400 / 180) + 2 = 131. Значит, выпуклый многоугольник имеет 131 сторону.
2. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Так как средняя линия отсекает трапецию, то длина ее равна половине суммы длин оснований трапеции. Пусть основания трапеции равны a и b. Тогда периметр треугольника равен a + b + 2*(c/2), где c - длина средней линии. Периметр равен a + b + c. Из условия известно, что a = 4 м, b = 7 м и периметр равен 5 м. Подставляем значения: 4 + 7 + c = 5, c = -6. Так как длина не может быть отрицательной, то данные в задаче противоречивы, и нет возможности найти периметр треугольника.
3. Пусть высота треугольника равна h. Тогда из условия известно, что медиана делит высоту на отрезки, больший из которых равен 6. Пусть эти отрезки равны h1 и h2, где h1 > h2. Тогда h1 = 6 и h2 = (h - h1). Так как медиана делит высоту на две равные части, то h2 = h1, что означает (h - h1) = 6. Решая уравнение получаем h = 12. Значит, длина высоты треугольника равна 12.
4. Для доказательства параллелограмма ABCD можно воспользоваться свойством параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке О. Так как О - точка пересечения диагоналей MKNZ, то точка О делит каждую из диагоналей на два равных отрезка. Каждый из этих отрезков соединяет середину стороны параллелограмма с точкой О, поэтому получаем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.