Question

Розв'яжіть нерівність (1/9) ^ (- sqrt(x ^ 2 - 3)) + 3 < 28 * 3 ^ (sqrt(x ^ 2 - 3) - 1)

Answer 1

Ответ:

х ∈ (-√7; -√3] ∪ [√3; √7)

Объяснение:

Перепишем неравенство в следующем виде

$\displaystyle \bigg(\frac{1}{9} \bigg)^{-\sqrt{x^2-3} }+3 < 28*3^{\sqrt{x^2-3}-1 }\\\\\\9^{\sqrt{x^2-3} }+3 < 28*3^{\sqrt{x^2-3}-1 }\\\\\bigg(3^{\sqrt{x^2-3} }\bigg)^2+3-28\frac{3^{\sqrt{x^2-3} }}{3}$

Теперь сделаем переназначение

$\displatstyle 3^{\sqrt{x^2-3} }=t$

Найдем первое ограничение на переменную х

$\displaystyle x^2-3\geq 0\\\\x^2\geq 3\\\\x \in (-\infty;-\sqrt{3} ] \cup[\sqrt{3} ; +\infty)$

Теперь решим неравенство после замены

$\displaystyle t^2-28*\frac{t}{3} +3 < 0$

Сначала решаем равенство, наносим корни на числовую ось и смотрим, где выполняется неравенство

$\displaystyle t^2^{\setminus 3}-28*\frac{t}{3} ^{\setminus 3}-3^{\setminus 3}=0\\\\3t^2-28t+9=0\\D=(-28)^2-4*3*9=676\\\sqrt{D} =26\\\\t_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{28+26}{6} =9=3^2\\t_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{28-26}{6} =\frac{1}{3}=3^{-1}$

t₂ нам не подходит, т.к.   $\sqrt{x^2-3} \ne-1$

Тогда мы получаем корень t = 3²

$\displaystyle \sqrt{x^2-3}=2\\\\x^2-3=4\\\\x=\pm\sqrt{7}$

Неравенство выполняется на промежутке х ∈ (-√7; √7)

Теперь нам надо соединить все эти интервалы.

Наносим на числовую ось и смотрим, что получилось

х ∈ (-√7; -√3] ∪ [√3; √7)