пендикулярні до сторін АВ і АС відповідно та перетинаються в точці Д. Доведіть, що промінь AD є бісектрисою кута ВАС. На продовженні сторони АС трикутника АВС за точку А позна- чили точку в таку, що AD=AB, а на продовженні цієї сторони за точку С - точку Е таку, що СЕ ВС. Знайдіть кути та периметр трикутника АВС, якщо DE = 18 см,
Ответы
Ответ:
Для доведення, що промінь AD є бісектрисою кута ВАС, ми можемо використати властивості рівнобедреного трикутника та теорему про бісектрису.
1. Оскільки AD = AB, то трикутник ABD є рівнобедреним.
2. Оскільки СЕ = СВ, то трикутник СЕВ є рівнобедреним.
3. Оскільки АВС - прямокутний трикутник, то кут ВАС = 90°.
4. Оскільки трикутники ABD і СЕВ є рівнобедреними, то кути ДАВ і ВЕС є рівними.
5. Оскільки кут ВАС = 90° і кути ДАВ і ВЕС є рівними, то промінь AD є бісектрисою кута ВАС.
Тепер знайдемо кути та периметр трикутника АВС.
Оскільки ТК = ТС (з доведення перпендикулярності прямих ТС і АВ), то ТКС - рівнобедрений трикутник.
Оскільки ТКС - рівнобедрений трикутник, то кути ТКС і ТСК є рівними.
Оскільки ТКС - прямокутний трикутник, то кут ТКС + кут ТСК + кут ТСК = 180°.
Замінимо значення кутів:
90° + кут ТСК + кут ТСК = 180°.
Зведемо подібні кути:
2 * кут ТСК = 180° - 90°.
Розв'яжемо рівняння:
2 * кут ТСК = 90°.
Поділимо обидві частини на 2:
кут ТСК = 45°.
Оскільки кути ТСК і ТКС є рівними, то кожен з них дорівнює 45°.
Так як кут ВАС = 90°, то кути ВАТ і САТ є доповнюючими до 90°.
Знайдемо кути ВАТ і САТ:
кут ВАТ = 90° - кут ТСК = 90° - 45° = 45°.
кут САТ = 90° - кут ТКС = 90° - 45° = 45°.
Отже, всі кути трикутника АВС дорівнюють 45°.
Тепер знайдемо периметр трикутника АВС.
Оскільки ТК = ТС (з доведення перпендикулярності прямих ТС і АВ), то ТКС - рівнобедрений трикутник.
Оскільки ТКС - рівнобедрений трикутник, то ТК = ТС.
Оскільки ТКС - прямокутний трикутник, то за теоремою Піфагора:
ТК^2 + ТС^2 = ТСК^2.
Підставимо значення:
ТК^2 + ТК^2 = ТСК^2.
Зведемо подібні частини:
2 * ТК^2 = ТСК^2.
Замінимо значення:
2 * ТК^2 = (ТК + ТС)^2.
Розкриємо дужки:
2 * ТК^2 = ТК^2 + 2 * ТК * ТС + ТС^2.
Зведемо подібні частини:
ТК^2 = 2 * ТК * ТС + ТС^2.
Перенесемо все в одну частину:
ТК^2 - 2 * ТК * ТС - ТС^2 = 0.
Розкриємо дужки:
ТК^2 - 2 * ТК * ТС + ТС^2 - ТС^2 = 0.
Зведемо подібні частини:
(ТК - ТС)^2 - ТС^2 = 0.
Замінимо значення:
(ТК - ТС)^2 = ТС^2.
Візьмемо квадратний корінь обох частин:
ТК - ТС = ТС.
Додамо ТС до обох частин:
ТК = 2 * ТС.
Тепер знаємо, що ТК = 2 * ТС.
Оскільки ТК = ТС (з доведення перпендикулярності прямих ТС і АВ), то можемо записати:
ТС = 2 * ТС.
Поділимо обидві частини на 2:
1 = 2.
Отримали суперечність. Таким чином, неможливо знайти таке значення DE, при якому промінь AD буде бісектрисою кута ВАС.
Отже, не можна знайти кути та периметр трикутника АВС, якщо DE = 18 см.