1 КУРС, ГЕОМЕТРИЯ, 70 БАЛОВ
Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой x+4y-10=0 . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.
со всеми формулами и объяснениями
Ответы
Ответ: (x²/20) + (y²/5) = 1.
Объяснение:
Уравнение эллипса, если его оси совпадают с осями координат, имеет вид:
(x²/a²) + (y²/b²) = 1.
Подставим координаты точки А(4; -1).
(4²/a²) + ((-1)²/b²) = 1 или (16/a²) + (1/b²) = 1.
Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1:
k 2 = m 2 a 2 + b 2.
Выразим заданное уравнение прямой x+4y-10=0 в виде с угловым коэффициентом.
y = (-1/4)x + (10/4) или y = (-1/4)x + (5/2).
Зная угловой коэффициент касательной m = (-1/4) и параметр к = (5/2), полученные из уравнения прямой, можно выразить зависимость полуосей эллипса.
(5/2)² = (-1/4)²*a² + b², отсюда b² = (5/2)² - (-1/4)²*a² или b² = (25/4) - (1/16)*a².
В уравнение эллипса после подстановки координат точки А подставим вместо полуоси b полученное выражение.
(16/a²) + (1/((25/4) – ((1/16)*a²)) = 1.
Решив это уравнение, получаем значение a² = 20.
Тогда подставив это значение, находим b² = 5.
Получаем ответ: уравнение эллипса (x²/20) + (y²/5) = 1.
