№10. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, своїм
перетином утворюють квадрат.
Ответы
Ответ:
Розглянемо прямокутник ABCD, який не є квадратом. Позначимо вершини прямокутника: A, B, C, і D. Нехай бісектриси кутів A та B перетинаються в точці E, а бісектриси кутів B та C перетинаються в точці F. Отже, ми маємо два прямокутних трикутники ABE та BCF.
Перш за все, ми знаємо, що бісектриси кутів прямокутника поділяють кожний з них на два рівних кута. Отже, кут AEB = кут BEC і кут BCF = кут CFB.Зважаючи на властивості прямокутних трикутників, ми також знаємо, що кути в прямокутних трикутниках додаються до 90 градусів. Отже, кут AEB + кут BEC = 90 градусів, і кут BCF + кут CFB = 90 градусів.
Але ми вже знайшли, що кут AEB = кут BEC і кут BCF = кут CFB. Тобто, кут AEB + кут AEB = 90 градусів і кут BCF + кут BCF = 90 градусів.
Це означає, що кожен з кутів AEB і BCF дорівнює 45 градусів. Таким чином, ми маємо два трикутники AEB та BCF з двома кутами по 45 градусів кожен, що робить їх рівними за двома кутами і гіпотенузами, які є спільними для обох трикутників.Тому трикутники AEB та BCF є рівнобічними. Із властивостей рівнобічного трикутника випливає, що їхні сторони рівні. Отже, сторона AE = стороні EB = стороні CF = стороні FB.
Це означає, що квадрат може бути побудований на сторонах AE, EB, CF та FB. Таким чином, бісектриси кутів прямокутника AEBD, який не є квадратом, своїм перетином утворюють квадрат.