Question

4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на противоположной стороне. Найдите площадь параллелограмма, если длины биссектрис равны 3 см и 4 см.​

Answer 1

Чтобы найти площадь параллелограмма, имея длины его биссектрис, можно воспользоваться следующим методом.

1. Пусть биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на противоположной стороне. Обозначим длины этих биссектрис как \(a\) и \(b\), где \(a = 3\) см и \(b = 4\) см.

2. Так как биссектрисы параллельны сторонам параллелограмма и пересекаются на противоположной стороне, они разбивают параллелограмм на четыре равных треугольника.

3. Поскольку биссектрисы разбивают каждый угол пополам, каждый из этих треугольников - это прямоугольный треугольник.

4. Теперь можно применить теорему Пифагора, так как мы знаем длины биссектрис и, следовательно, длины двух из трех сторон прямоугольных треугольников. Для каждого треугольника:

Для первого треугольника с биссектрисами \(a\) и \(b\):
\(c_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) см.

Для второго треугольника, где биссектрисы также равны \(a\) и \(b\):
\(c_2 = \sqrt{a^2 + b^2} = 5\) см.

5. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты равные \(a\) и \(b\), и гипотенузу равную \(c_1\) или \(c_2\).

6. Площадь каждого из треугольников можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:
Площадь = \(\frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2\).

Таким образом, площадь одного треугольника:
\(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\) см².

7. Поскольку каждый из четырех треугольников имеет одинаковую площадь, площадь всего параллелограмма равна:
\(4 \cdot 6 = 24\) см².

Итак, площадь параллелограмма равна 24 квадратным сантиметрам.