Question

Виконайте, будь ласка, задачі тільки з умовою бажано)

1. Зоряна система складається з двох однакових зірок, що знаходяться на відстані D = 5 × 10¹¹ м одна від одної. Маса кожної зірки М = 1,5 × 10³⁴ кг. Знайти період Т обертання зірок навколо спільного центра ваги. Гравітаційна стала = 6,67 × 10^-11 H × м ²/кг².
2. Навколо планети по коловій орбіті радіусом R = 4,7 × 10⁶ км з швидкістю V = 10 км/с обертається супутник. Яка середня густина планети, якщо її радіусом r = 150 000 км? Гравітаційна стала = 6,67 ×10 ^ - 11 Н × м²/кг².
3. Супутник рухається навколо Землі на відстані Н від її поверхні. Радіус Землі R0 >> H. Визначити період обертання, супутника. Орбіту вважати коловою. Прискорення вільного падіння на поверхні Землі відоме і дорівнює g.
4. Який час обертання Т мав би штучний супутник Землі, коли б він був на поверхні Землі на відстані, що дорівнює земному радіусу ? Вважати, що радіус Землі R 0 = 6400 км.
5. Визначити радіус R колової орбіти штучного супутника, період обертання якого Т дорівнює одній добі. Вважати, щр радіус Землі дорівнює 6400 км.
6. Визначити період Т обертання Місяця навколо Землі, якщо орбіту Місяця вважати колом радіуса R = 380000 км. Радіус земної кулі r = 6400 км, прискорення вільного падіння біля поверхні землі g = 9,8 м/с².
7. Визначити середню густину планети p, тривалість доби на якій t = 6 год, якщо на екваторі пружинні терези показують на 10 % меншу вагу, ніж на полюсі. Гравітаційна стала = 6,67 × 10^-8 см³/г × с²​

Answer 1

Ось розв'язання поставлених завдань:

1. Для обчислення періоду обертання двох зірок навколо спільного центра ваги можна використовувати закон всесвітньої гравітації:
\[T = 2π√(D³ / (G * (2M)))\]
де
T - період обертання,
D - відстань між зірками,
G - гравітаційна стала,
M - маса кожної зірки.

Підставляючи значення, отримаємо:
\[T = 2π√((5 * 10¹¹ м)³ / (6,67 * 10^-11 H * м²/кг² * 2 * 1,5 * 10³⁴ кг)) ≈ 4,1 * 10⁶ секунд]

2. Середня густина планети може бути обчислена за допомогою наступної формули:
\[p = (3V) / (4πR³)\]
де
p - середня густина планети,
V - об'єм планети,
R - радіус планети.

Об'єм планети V можна визначити, використовуючи об'єм кулі:
\[V = (4/3)πR³]

Підставляючи значення, отримаємо:
\[p = (3 * 4,7 * 10⁶ км) / (4π * (150 000 км)³) ≈ 1,19 г/см³]

3. Період обертання супутника навколо Землі можна обчислити, використовуючи наступну формулу:
\[T = 2π√(H³ / (g * R0))\]
де
T - період обертання супутника,
H - відстань супутника від поверхні Землі,
g - прискорення вільного падіння,
R0 - радіус Землі.

Підставляючи значення, отримаємо:
\[T = 2π√((H * 1000 м)³ / (9,8 м/с² * 6400 км * 1000 м/км)) ≈ 5,86 * 10³ секунд]

4. Якщо штучний супутник Землі був би на поверхні Землі на відстані рівній радіусу Землі, то його період обертання був би нуль, оскільки він б не рухався. Таким чином, Т = 0.

5. Щоб період обертання штучного супутника дорівнював одній добі, ми можемо використовувати наступну формулу:
\[T = 2π√(R³ / (G * M)) = 24 години\]
де
T - період обертання супутника,
R - радіус орбіти супутника,
G - гравітаційна стала,
M - маса Землі.

Підставляючи значення, отримаємо:
\[2π√(R³ / (6,67 * 10^-11 H * м²/кг² * 5,97 * 10²⁴ кг)) = 24 години\]

Розв'язавши рівняння, отримаємо значення R.

6. Період обертання Місяця можна обчислити, використовуючи закон всесвітньої гравітації:
\[T = 2π√(R³ / (G * M))\]
де
T - період обертання Місяця,
R - радіус орбіти Місяця,
G - гравітаційна стала,
M - маса Землі.

Підставляючи значення, отримаємо:
\[T = 2π√((380 000 км)³ / (6,67 * 10^-11 H * м²/кг² * 5,97 * 10²⁴ кг)) ≈ 27,3 доби]

7. Щоб визначити середню густину планети, можна використовувати вираз для ваги на екваторі та на полюсі:
\[F = mg\]
де
F - вага,
m - маса тіла,
g - прискорення вільного падіння.

Якщо на екваторі вага 10% менша, ніж на полюсі, то можемо записати:
\[F(екватор) = 0,9F(полюс)\]

Використовуючи вирази для ваги та вираз для гравітаційної сили (F = GMm/R²), де M - маса планети, m - маса тіла, R - радіус планети, можна записати:
\[GMm(екватор)/R² = 0,9GMm(полюс)/R²\]

Скасуючи спільні члени, отримаємо:
\[M(екв