Question

Вычислите: а) (√5 + √2)^5; б) (√3 – 1)^6.​

Answer 1

Ответ:

a) Для выражения (√5 + √2)^5, используем формулу бинома Ньютона:

(√5 + √2)^5 = C(5,0)(√5)^5(√2)^0 + C(5,1)(√5)^4(√2)^1 + C(5,2)(√5)^3(√2)^2 + C(5,3)(√5)^2(√2)^3 + C(5,4)(√5)^1(√2)^4 + C(5,5)(√5)^0(√2)^5

Раскроем каждое слагаемое:

C(5,0)(√5)^5(√2)^0 = 1 * 5√5^5 * 1 = 5√5^5 = 5 * 5√5 = 25√5

C(5,1)(√5)^4(√2)^1 = 5 * (√5)^4 * (√2)^1 = 5 * 5^2 * √5 * √2 = 25 * 5 * √5 * √2 = 125√10

C(5,2)(√5)^3(√2)^2 = 10 * (√5)^3 * (√2)^2 = 10 * 5√5^3 * 2 = 10 * 5^3 * √5 * 2 = 10 * 125 * √5 * 2 = 250√10

C(5,3)(√5)^2(√2)^3 = 10 * (√5)^2 * (√2)^3 = 10 * 5^2 * √5 * 2^2 = 10 * 25 * √5 * 4 = 250√10 * 4 = 1000√10

C(5,4)(√5)^1(√2)^4 = 5 * (√5)^1 * (√2)^4 = 5 * 5 * √5 * 2^2 = 5 * 5 * √5 * 4 = 100√5

C(5,5)(√5)^0(√2)^5 = 1 * (√2)^5 = (√2)^5 = 2^2 * √2^5 = 4√32

Теперь сложим все слагаемые:

(√5 + √2)^5 = 25√5 + 125√10 + 250√10 + 1000√10 + 100√5 + 4√32

(√5 + √2)^5 = 125√5 + 1375√10 + 4√32

b) Аналогично, для выражения (√3 - 1)^6:

(√3 - 1)^6 = C(6,0)(√3)^6(-1)^0 + C(6,1)(√3)^5(-1)^1 + C(6,2)(√3)^4(-1)^2 + C(6,3)(√3)^3(-1)^3 + C(6,4)(√3)^2(-1)^4 + C(6,5)(√3)^1(-1)^5 + C(6,6)(√3)^0(-1)^6

Раскроем каждое слагаемое:

C(6,0)(√3)^6(-1)^0 = 1 * 3^3 * 1 = 3^3 = 27

C(6,1)(√3)^5(-1)^1 = 6 * (√3)^5 * (-1) = 6 * 3^2 * (√3) * (-1) = 6 * 9 * √3 * (-1) = -54√3

C(6,2)(√3)^4(-1)^2 = 15 * (√3)^4 * 1 = 15 * 3 * 1 = 45

C(6,3)(√3)^3(-1)^3 = 20 * (√3)^3 * (-1) = 20 * 3 * (-1) = -60

C(6,4)(√3)^2(-1)^4 = 15 * (√3)^2 * 1 = 15 * 3 * 1 = 45

C(6,5)(√3)^1(-1)^5 = 6 * (√3)^1 * (-1) = 6 * 3 * (-1) = -18

C(6,6)(√3)^0(-1)^6 = 1 * 1 * 1 = 1

Теперь сложим все слагаемые:

(√3 - 1)^6 = 27 - 54√3 + 45 - 60 + 45 - 18 + 1

(√3 - 1)^6 = -20 - 54√3

Таким образом, (√3 - 1)^6 равно -20 - 54√3.