Question

потрібно виготувати ящик з кришкою, об'єм якого дорівнює 72 дм3,а сторони основи співвідносяться як1:2.Які повинні бути розміри всіх його сторін, щоб повна поверхя ящика була найменшою?

Answer 1

Відповідь:

а = 3 дм, b = 6 дм , h = 4 дм

Покрокове пояснення:

За умовою :

a : b = 1 : 2

V =72 дм³

Знайти : Sпп - min

Нехай коефіціент пропорційності х , тоді сторони основи будуть

a= х дм

b=2х дм

1) Формула об"єму :

V = a * b * h

підставимо відомі значення і визначимо h:

х * 2х * h = 72

h = 72 /2x² = 36/x²

2) Формула повної поверхні :

Sпп = 2So +Sб

Sб = Росн * h,

Sосн = a * b отже формула повної поверхні буде :

Sпп = 2( a*b) +Росн * h

підставимо наші значення :

Sпп = 2 *( x*2x) + 2*(x+2x) * 36/x²

$\displaystyle S = 4x^2 + 6x*\frac{36}{x^2}= 4x^2+\frac{6*36}{x}=4x^2+\frac{216}{x}=\frac{4x^3+216}{x}$

представимо вираз у вигляді функції і знайдемо її похідну :

$\displaystyle f(x) =\frac{4x^3+216}{x}$

x∈R {0}

Знайдемо похідну :

$\displaystyle f'(x) =\frac{8x^3-216}{x^2}$

Знайдемо критичні точки , в яких f'(x)=0 або ж похідна не існує . Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак.

8х³ - 216 = 0

8х³ = 216

х³ = 27

х = 3

маємо інтервали :

( 0; 3 ) та ( 3 ; +∞)

Знайдемо як похідна змінює знак у критичній точці :

$\displaystyle f'(1) = \frac{8 * 1 -216}{1}= -208$

$\displaystyle f'(4) = \frac{8*4^3-216}{4^2}=\frac{296}{16}= \frac{37}{2}$

Як бачимо , похідна змінює знак з з від'ємного на додатний, отже  це точка локального мінімуму.

Тоді

а = 3 дм ,

b = 3 * 2 = 6 см

h = 36 : 3^2 = 4 дм

При таких розмірах сторін повна поверхня ящика буде найменшою.

Sпп = 2 *(3*6) + 2*(3+6)*4 = 108 дм³