потрібно виготувати ящик з кришкою, об'єм якого дорівнює 72 дм3,а сторони основи співвідносяться як1:2.Які повинні бути розміри всіх його сторін, щоб повна поверхя ящика була найменшою?
Ответы
Відповідь:
а = 3 дм, b = 6 дм , h = 4 дм
Покрокове пояснення:
За умовою :
a : b = 1 : 2
V =72 дм³
Знайти : Sпп - min
Нехай коефіціент пропорційності х , тоді сторони основи будуть
a= х дм
b=2х дм
1) Формула об"єму :
V = a * b * h
підставимо відомі значення і визначимо h:
х * 2х * h = 72
h = 72 /2x² = 36/x²
2) Формула повної поверхні :
Sпп = 2So +Sб
Sб = Росн * h,
Sосн = a * b отже формула повної поверхні буде :
Sпп = 2( a*b) +Росн * h
підставимо наші значення :
Sпп = 2 *( x*2x) + 2*(x+2x) * 36/x²
представимо вираз у вигляді функції і знайдемо її похідну :
x∈R {0}
Знайдемо похідну :
Знайдемо критичні точки , в яких f'(x)=0 або ж похідна не існує . Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак.
8х³ - 216 = 0
8х³ = 216
х³ = 27
х = 3
маємо інтервали :
( 0; 3 ) та ( 3 ; +∞)
Знайдемо як похідна змінює знак у критичній точці :
Як бачимо , похідна змінює знак з з від'ємного на додатний, отже це точка локального мінімуму.
Тоді
а = 3 дм ,
b = 3 * 2 = 6 см
h = 36 : 3^2 = 4 дм
При таких розмірах сторін повна поверхня ящика буде найменшою.
Sпп = 2 *(3*6) + 2*(3+6)*4 = 108 дм³