Question

Дослідити на збіжність ряд

Answer 1

Ответ:

Ряд сходится.

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle U_n= \sum_{n=1}^ \infty\frac{sin(n)}{n!}$

последовательность sin(n) ограничен слева и справа

-1 ≤ sin(n) ≤ sin(n)

Тогда мы можем сказать, что для  ∀ n справедливо

$\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty\frac{sin(n)}{n!}\leq \sum_{n=1}^ \infty\frac{1}{n!}$

По признаку Даламбера исследуем ряд

$\displaystyle V_n=\sum_{n=1}^ \infty\frac{1}{n!}$

Ряд   $\displaystyle U_n$ будет сходиться, если сходится ряд $\displaystyle V_n$.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} =q,$  если q < 1, то ряд сходится.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{1}{(n+1)!} :\frac{1}{n!}\bigg)= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n!(n+1)} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1} =0$

наше значение q (=0) < 1, значит, ряд сходится.

А тогда сходится и исходный ряд   $\displaystyle U_n= \sum_{n=1}^ \infty\frac{sin(n)}{n!}$.