Даю 100 баллов за сложную задачу
Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно.
Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD.
Прямая l касается окружности, описанной около треугольника ADB, в точке M, и окружности, описанной около треугольника ADC, в точке N.
Обозначим точки середины отрезков BD и DC как P и Q соответственно, а также точку пересечения AD с MN как R.
Так как AD является биссектрисой, отрезки BP и CQ равны.
Теперь рассмотрим треугольникы BMR и CNR. Они подобны по двум углам, так как MR и NR - это касательные, и угол MBR равен углу NCR (так как они опираются на одну и ту же хорду).
Таким образом, соотношение сторон в этих треугольниках также одинаково, MR / NR = BR / CR.
Но MR / NR - это отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC. BR / CR - это отношение отрезков BP и CQ, которые равны.
Следовательно, радиусы окружностей тоже равны.
Если радиусы окружностей равны, то они касаются внутренно.
Таким образом, окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.