Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ1) Докажите, что среднее арифметическое не может быть меньше среднего геометрического.
2) Когда среднее арифметическое=среднее геометрическое?
Пожалуйста, подробно с объяснениями и примерами.

Answer 1

1) Доказательство того, что среднее арифметическое не может быть меньше среднего геометрического:

Давайте предположим, у нас есть набор положительных чисел {a₁, a₂, ..., aₙ}, где n - количество чисел в наборе. Мы будем сравнивать среднее арифметическое (СА) и среднее геометрическое (СГ) этого набора чисел.

Среднее арифметическое (СА) вычисляется следующим образом:

СА = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n

Среднее геометрическое (СГ) вычисляется так:

СГ = √(a₁ * a₂ * ... * aₙ)

Чтобы доказать, что СА не может быть меньше СГ, давайте воспользуемся неравенством между арифметическим и геометрическим средним, известным как неравенство о средних:

Неравенство о средних: Для положительных чисел a и b, справедливо, что (a + b) / 2 ≥ √(a * b).

Теперь давайте применим это неравенство к каждой паре чисел (a₁ и a₂, a₂ и a₃, ..., aₙ-₁ и aₙ) в нашем наборе чисел. Затем перемножим все эти неравенства:

[(a₁ + a₂) / 2] * [(a₂ + a₃) / 2] * ... * [(aₙ-₁ + aₙ) / 2] ≥ √(a₁ * a₂) * √(a₂ * a₃) * ... * √(aₙ-₁ * aₙ)

Сгруппируем выражения внутри квадратных корней:

[(a₁ + a₂) * (a₂ + a₃) * ... * (aₙ-1 + aₙ)] / (2ⁿ⁻¹) ≥ √(a₁ * a₂ * a₂ * a₃ * ... * aₙ-1 * aₙ)

Теперь вспомним, что СА равно (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n и СГ равно √(a₁ * a₂ * ... * aₙ). Сравнивая эти два выражения, видно, что:

СА = [(a₁ + a₂) * (a₂ + a₃) * ... * (aₙ-1 + aₙ)] / (2ⁿ⁻¹)

Таким образом, мы получаем:

СА ≥ СГ

Итак, доказано, что среднее арифметическое не может быть меньше среднего геометрического.

2) Когда среднее арифметическое равно среднему геометрическому:

Среднее арифметическое (СА) будет равно среднему геометрическому (СГ) только в том случае, когда все числа в наборе равны между собой. Другими словами, когда все числа a₁, a₂, ..., aₙ одинаковы, то:

СА = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n = n * a₁ / n = a₁
СГ = √(a₁ * a₂ * ... * aₙ) = √(a₁ * a₁ * ... * a₁) = a₁

Таким образом, когда все числа в наборе одинаковы, среднее арифметическое и среднее геометрическое будут равны и равны этому общему значению a₁.

Пример: Рассмотрим набор чисел {3, 3, 3, 3}. Среднее арифметическое равно (3 + 3 + 3 + 3) / 4 = 3, а среднее геометрическое равно √(3 * 3 * 3 * 3) = 3. В этом случае СА равно СГ, так как все числа в наборе равны 3.