Question

Найдите первые три слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени х и запишите коэффициент при х:
1) (3x+1)^5
2) (1-x)^5

Answer 1

Ответ:

Бином Ньютона :  

$\bf (a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^1a^{n-1}\, b+C_{n}^2a^{n-2}\, b^2+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$   .

Запишем формулу бинома для 5 степени .

$\bf (a+b)^5=a^5+5\, a^4b+10\, a^3b^2+10\, a^2b^3+5\, ab^4+b^5$   .

1)  Запишем первые три слагаемых в биномиальном разложении  

(3х+1)⁵  при возрастании степени  х  .

$\bf (3x+1)^5=(1+3x)^5=1^5+5\cdot 1^4\cdot (3x)+10\cdot 1^3\cdot (3x)^2+10\cdot 1^2\cdot (3x)^3+\\\\+5\cdot 1\cdot (3x)^4+(3x)^5=1+15x+90x^2+...$  

Коэффициент при первой степени  х  равен   15  .

2)  Запишем первые три слагаемых в биномиальном разложении  

(1-х)⁵  при возрастании степени  х  .

$\bf (1-x)^5=(1+(-x))^5=1^5+5\cdot 1^4\cdot (-x)+10\cdot 1^3\cdot (-x)^2+10\cdot 1^2\cdot (-x)^3+\\\\=+5\cdot 1\cdot (-x)^4+(-x)^5=1-5x+10x^2+...$  

 Коэффициент при первой степени  х  равен   -5  .

3) Используя результаты предыдущих действий , найдём коэффициент при  х  в биномиальном  разложении ( (3х+1)(1-х) )⁵ .

$\bf \Big((3x+1)(1-x)\Big)^5=(3x+1)^5(1-x)^5=\\\\=\Big(1+15x+90x^2+...\Big)\Big(1-5x+10x^2-,,,\Big)=\\\\=1\underline{-5x}+10x^2+\underline{15x}+15x\cdot (-5x)+15x\cdot 10x^2+90x^2+90x^2\cdot (-5x)+...=\\\\=1+\underline{10x}+25x^2+...$

Коэффициент при первой степени  х  равен  10 .