Question

2sin^2x - 3sinxcosx - 5cos^2x =0​

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{\pi }{4} +\pi n;\ \mathrm{arctg}\,\dfrac{5}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Решение:

$2\sin^2x - 3\sin x\cos x - 5\cos^2x =0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$:

$\dfrac{2\sin^2x}{\cos^2x} - \dfrac{3\sin x\cos x}{\cos^2x} - \dfrac{5\cos^2x}{\cos^2x} =0$

$2\,\mathrm{tg}^2x-3\,\mathrm{tg}\,x-5=0$

Получили квадратное уравнение относительно тангенса.

Так как сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то первый корень уравнения равен (-1), а второй корень равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

$\mathrm{tg}\,x_1=-1\Rightarrow x_1=\mathrm{arctg}(-1)+\pi n\Rightarrow \boxed{x_1=-\dfrac{\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\mathrm{tg}\,x_2=\dfrac{5}{2} \Rightarrow \boxed{x_2=\mathrm{arctg}\,\dfrac{5}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$