II ЕТАП ВСЕУКРАЇНСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ 2022-2023 H.P. #Будьроим 1. Розв'яжіть рiвняння При деяких дивних і вельми таемничих обставинах окремi парні числа поводять себе як непарні Евклід x¹ +331x²= 2022. 2. Доведіть, що для довİльних натуральних чисел и i m виконується нерівність nn.mm znm.m". 3. Серед чисел вигляду и4 + 4, де п - довiльне натуральне число, знайти всі прості числа. 4. На стороні ВС квадрата АBCD вибрали точку М і побудували квадрат BKLM. Виявилося, що AC = AL. Знайдіть
Ответы
Ответ:Давайте розглянемо кожне завдання окремо:
Розв'яжіть рівняння: x¹ + 331x² = 2022.
Спростимо рівняння: x + 331x² = 2022.
Перенесемо всі члени на одну сторону: 331x² + x - 2022 = 0.
Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою дискримінанта:
D = 1² - 4 * 331 * (-2022) = 1 + 2668448 = 2668449.
Розв'язок дискримінанта D вказує на те, що рівняння має два корені:
x₁ = (-1 + √2668449) / (2 * 331)
x₂ = (-1 - √2668449) / (2 * 331)
x₁ та x₂ - це два розв'язки рівняння.
Доведіть, що для довільних натуральних чисел n і m виконується нерівність nn * mm ≥ (n + m)².
Для доведення цієї нерівності розкриємо ліву сторону:
nn * mm = n² * m².
А також праву сторону:
(n + m)² = n² + 2nm + m².
Тепер порівняємо ці вирази:
n² * m² ≥ n² + 2nm + m².
Віднімемо n² та m² з обох сторін:
n² * m² - n² - m² ≥ 2nm.
Тепер додамо 1 до обох сторін (1 - це завжди додатнє число):
n² * m² - n² - m² + 1 ≥ 2nm + 1.
Продовжимо обчислення:
(n² - 1) * (m² - 1) ≥ 2(nm + 1).
Таким чином, ми довели нерівність nn * mm ≥ (n + m)².
Серед чисел вигляду n⁴ + 4, де n - довільне натуральне число, знайдіть всі прості числа.
Щоб знайти прості числа в такому вигляді, ми можемо використовувати малу теорему Ферма. Ця теорема стверджує, що якщо p - просте число, то для будь-якого натурального числа a, яке не ділиться на p, виконується наступна рівність:
a^(p-1) ≡ 1 (mod p).
В даному випадку, ми шукаємо числа вигляду n⁴ + 4. Перевіримо їх за допомогою малої теореми Ферма для простих чисел p. Якщо n⁴ + 4 ≡ 1 (mod p), то p - просте число.
Наприклад, для p = 5:
1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5 ≡ 0 (mod 5). Позитивний результат.
Для p = 7:
2. 1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5 ≡ 5 (mod 7). Негативний результат.
Для p = 11:
3. 1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5 ≡ 5 (mod 11). Негативний результат.
Таким чином, n⁴ + 4 є простим числом лише для p = 5. В інших випадках вони не є простими числами.
На жаль, ваше четверте завдання (про побудову квадрата BKLM) обривається, і ви не навели текст завдання. Якщо ви надаєте текст завдання, я готовий допомогти з ним.
Пошаговое объяснение: