Question

найдите производную функции y=2/√x, пользуясь определением

Answer 1

Ответ:

Производная функции y=2/√x равна 4/√x.

Объяснение:

Используя определение производной, найдем ее как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

y'(x) = lim(∆x->0) (f(x+∆x) - f(x)) / ∆x

Заменяем функцию f(x) на данную в задании:

y'(x) = lim(∆x->0) (2/√(x+∆x) - 2/√x) / ∆x

Раскрываем скобки в числителе:

y'(x) = lim(∆x->0) (2/√(x+∆x) - 2/√x) / ∆x * (√(x+∆x) + √x) / (√(x+∆x) + √x)

Упрощаем выражение в числителе:

y'(x) = lim(∆x->0) (2√(x+∆x) - 2√x) / (∆x * (√(x+∆x) + √x))

Делим числитель и знаменатель на ∆x:

y'(x) = lim(∆x->0) (2(√(x+∆x) - √x)) / (∆x * (√(x+∆x) + √x))

Выносим 2 за скобки:

y'(x) = lim(∆x->0) 2 * ((√(x+∆x) - √x) / (∆x * (√(x+∆x) + √x)))

Заменяем √(x+∆x) на √x + ∆√x:

y'(x) = lim(∆x->0) 2 * ((√x + ∆√x - √x) / (∆x * (√(x+∆x) + √x)))

Сокращаем √x с √x:

y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (∆√x / (∆x * (√(x+∆x) + √x)))

Делим числитель и знаменатель на ∆x:

y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (∆√x / (∆x * (√(x+∆x) + √x))) * (1/∆x)

Упрощаем выражение в скобках:

y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (1/√(x+∆x) + 1/√x)

При ∆x->0, √(x+∆x) -> √x, поэтому можно заменить √(x+∆x) на √x в первом слагаемом:

y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (1/√(x+∆x) + 1/√x) = 2 * (1/√x + 1/√x) = 4/√x

Таким образом, производная функции y=2/√x равна 4/√x.