Ответы
Ответ:
Производная функции y=2/√x равна 4/√x.
Объяснение:
Используя определение производной, найдем ее как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
y'(x) = lim(∆x->0) (f(x+∆x) - f(x)) / ∆x
Заменяем функцию f(x) на данную в задании:
y'(x) = lim(∆x->0) (2/√(x+∆x) - 2/√x) / ∆x
Раскрываем скобки в числителе:
y'(x) = lim(∆x->0) (2/√(x+∆x) - 2/√x) / ∆x * (√(x+∆x) + √x) / (√(x+∆x) + √x)
Упрощаем выражение в числителе:
y'(x) = lim(∆x->0) (2√(x+∆x) - 2√x) / (∆x * (√(x+∆x) + √x))
Делим числитель и знаменатель на ∆x:
y'(x) = lim(∆x->0) (2(√(x+∆x) - √x)) / (∆x * (√(x+∆x) + √x))
Выносим 2 за скобки:
y'(x) = lim(∆x->0) 2 * ((√(x+∆x) - √x) / (∆x * (√(x+∆x) + √x)))
Заменяем √(x+∆x) на √x + ∆√x:
y'(x) = lim(∆x->0) 2 * ((√x + ∆√x - √x) / (∆x * (√(x+∆x) + √x)))
Сокращаем √x с √x:
y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (∆√x / (∆x * (√(x+∆x) + √x)))
Делим числитель и знаменатель на ∆x:
y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (∆√x / (∆x * (√(x+∆x) + √x))) * (1/∆x)
Упрощаем выражение в скобках:
y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (1/√(x+∆x) + 1/√x)
При ∆x->0, √(x+∆x) -> √x, поэтому можно заменить √(x+∆x) на √x в первом слагаемом:
y'(x) = lim(∆x->0) 2 * (1/√(x+∆x) + 1/√x) = 2 * (1/√x + 1/√x) = 4/√x
Таким образом, производная функции y=2/√x равна 4/√x.