1. Складіть рівняння кола яке проходить через точку А(1;2), з центром на осі ординат і з радіусом 1.
2.Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку М(2;1), паралельно прямій 5х - 2у +4=0.
3.Знайдіть точки перетину прямої 6х-2у+5-0 з осями координат.
4. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-1;5), В(7;6), С(4;-1), Д(-4;-2), є паралелограм.
Ответы
1. Рівняння кола з центром на осі ординат (0, y₀) і радіусом 1 має вигляд: x² + (y - y₀)² = 1. З огляду на те, що центр знаходиться на осі ординат, координата y₀ дорівнює 0. Тому рівняння кола буде: x² + y² = 1.
2. Пряма, яка проходить через точку М(2,1) і паралельна прямій 5x - 2y + 4 = 0, матиме такий же коефіцієнт перед x та y. Отже, рівняння нової прямої матиме вигляд 5x - 2y + C = 0, де C - невідома константа. Щоб знайти її, підставимо координати точки М у рівняння: 5 2 - 2 1 + C = 0. Отримаємо 10 - 2 + C = 0. Звідси C = -8. Таким чином, рівняння прямої буде 5x - 2y - 8 = 0.
3. Для знаходження точок перетину прямої з осями координат, підставимо x = 0 та y = 0 у рівняння прямої:
- Для осі ординат (x = 0): 6 0 - 2y + 5 = 0 ⇒ -2y + 5 = 0 ⇒ -2y = -5 ⇒ y = 5/2.
- Для осі абсцис (y = 0): 6x - 2 0 + 5 = 0 ⇒ 6x + 5 = 0 ⇒ 6x = -5 ⇒ x = -5/6.
Таким чином, точки перетину прямої з осями координат: (0, 5/2) і (-5/6, 0).
4. Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, потрібно перевірити, чи рівні протилежні сторони та протилежні кути.
- Перевірка рівності сторін: Відріжемо вектори AB і CD. AB = (7 - (-1), 6 - 5) = (8, 1), CD = (-4 - 4, -2 - (-1)) = (-8, -1). Очевидно, що вектори AB і CD мають однакову довжину, тому сторони AB і CD рівні. Так само, можна перевірити, що сторони BC і AD також рівні.
- Перевірка рівності кутів: Відріжемо вектори BC і AD. BC = (4 - 7, -1 - 6) = (-3, -7), AD = (-1 - (-4), 5 - (-2)) = (3, 7). За допомогою скалярного добутку можна перевірити, що вектори BC і AD мають скалярний добуток 0, що означає, що кути між векторами BC і AD рівні.
Отже, згідно з перевіркою сторін і кутів, чотирикутник ABCD є паралелограмом.