Назвати та зобразити на координатній площині лінії, задані рівняннями
1) х²-4 у²-4х-4y-1=0;
2) 2y²+2x-4y+3=0 ;
3) х²+ у²+10х+10 y+1=0;
4) -x²+4х-4=0 ;
5) -х²-4 y²+2x+4y+2=0 2
Разом із гіперболою зобразити її асимптоти. Знайти ексцентриситети невироджених ліній.
Ответы
Ответ:
Давайте розглянемо кожну з цих ліній на координатній площині та знайдемо їхні асимптоти та ексцентриситети.
1) x² - 4y² - 4x - 4y - 1 = 0:
Це рівняння представляє гіперболу. Щоб знайти її асимптоти, спершу виділимо квадрати:
(x² - 4x + 4) - 4(y² + y + 1) - 1 + 4 - 4 = 0,
(x - 2)² - 4(y + 0.5)² = 0.
Тепер це рівняння гіперболи в канонічній формі, із зсувом. Асимптоти будуть вертикальними та горизонтальними лініями, а ексцентриситет можна розрахувати як sqrt(1 + (b²/a²)), де a та b - параметри гіперболи.
2) 2y² + 2x - 4y + 3 = 0:
Це також гіпербола. В канонічній формі:
y² - 2y - x + 1.5 = 0.
Асимптоти гіперболи будуть вертикальними та горизонтальними лініями. Ексцентриситет можна розрахувати аналогічно до попереднього викладення.
3) x² + y² + 10x + 10y + 1 = 0:
Це рівняння кола, не гіперболи. Асимптоти не існують, і ексцентриситет також не застосовується до кола.
4) -x² + 4x - 4 = 0:
Це рівняння представляє параболу, не гіперболу. Асимптоти і ексцентриситет не застосовується.
5) -x² - 4y² + 2x + 4y + 2 = 0:
Це також рівняння гіперболи, але спершу потрібно виділити квадрати:
-(x² - 2x + 1) - 4(y² - y - 1) + 2 + 4 - 2 = 0,
-(x - 1)² - 4(y - 1.5)² = 0.
Це гіпербола в канонічній формі зі зсувом. Асимптоти будуть вертикальними та горизонтальними лініями, і ексцентриситет можна розрахувати, використовуючи параметри гіперболи.
Таким чином, лише певні рівняння відповідають гіперболам, і вони мають асимптоти та ексцентриситети. Решту рівнянь можна ідентифікувати як кола або параболи, і вони не мають асимптот та ексцентриситетів.