Можете сделать на листочке дам 100 баллов !
1. Задана функция: y = (4x - 8)/(3 + 15x)
Найдите:
1) область определения функции;
2) область значений функции:
3) нули функции;
4) периодичность функции:
5) промежутки монотонности функции;
6) промежутки знакопостоянства функции:
7) наибольшее и наименьшее значения функции;
8) четность, нечетность функции; 9) ограниченность функции;
10) непрерывность функции;
11) экстремумы функции:
12) приведите функцию к виду: y = k + m/(cx + d)
13) постройте график
Ответы
Ответ:
Давайте поэтапно рассмотрим все заданные характеристики функции:
1) Область определения функции:
Область определения - это множество всех допустимых значений x, при которых функция существует. В данной функции, знаменатель не должен равняться нулю (3 + 15x ≠ 0), так как деление на ноль недопустимо. Решив это неравенство, мы получим область определения функции:
3 + 15x ≠ 0
15x ≠ -3
x ≠ -3/15
x ≠ -1/5
Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел, кроме x = -1/5.
2) Область значений функции:
Область значений - это множество всех возможных значений y для всех x из области определения. Функция не имеет явных ограничений на значения y, и она может принимать любое действительное число.
3) Нули функции:
Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Решим уравнение (4x - 8) / (3 + 15x) = 0:
4x - 8 = 0
4x = 8
x = 2
Таким образом, нуль функции - это x = 2.
4) Периодичность функции:
Функция не является периодической.
5) Промежутки монотонности функции:
Чтобы определить промежутки монотонности, нужно анализировать производную функции. Вычислим производную:
y' = (d/dx)[(4x - 8)/(3 + 15x)] = (4 * (3 + 15x) - (4x - 8) * 15) / (3 + 15x)^2
Для анализа знака производной и определения промежутков монотонности требуется решить неравенство y' > 0:
(4 * (3 + 15x) - (4x - 8) * 15) / (3 + 15x)^2 > 0
Это неравенство можно решить, чтобы найти промежутки монотонности функции.
6) Промежутки знакопостоянства функции:
Для анализа промежутков знакопостоянства нужно рассмотреть интервалы, на которых функция положительна и отрицательна, исходя из анализа производной.
7) Наибольшее и наименьшее значения функции:
Наибольшие и наименьшие значения функции могут быть найдены, рассматривая ее асимптоты и график. Мы определим их после построения графика.
8) Четность, нечетность функции:
Функция не обладает четностью или нечетностью, так как y(x) ≠ y(-x) и y(-x) ≠ -y(x).
9) Ограниченность функции:
Функция не ограничена, она может принимать бесконечно большие и бесконечно маленькие значения.
10) Непрерывность функции:
Функция непрерывна на всей области определения, за исключением x = -1/5, где у функции возможны разрывы.
11) Экстремумы функции:
Для нахождения экстремумов нужно рассмотреть производную и найти ее нули. Мы определим экстремумы после построения графика.
12) Приведение функции к виду y = k + m/(cx + d):
Эту задачу можно выполнить после построения графика и анализа его формы.
13) Постройте график:
Построение графика - это наилучший способ визуального анализа функции, нахождения экстремумов и определения ее наибольших и наименьших значений. Воспользуйтесь графическим инструментом или калькулятором, чтобы построить график функции.