Question

У чотирикутнику ABCD, вписаному в коло, AB=a, BC=b,

CD=c, AD=d. Знайдіть довжину діагоналі АC.

!!!!ДАМ 60 БАЛЛОВ!!!!! СРОЧНО !!!!!!!

Answer 1

Ответ:

AC = (a + b + c + d) / 2

Объяснение:

Довжина діагоналі AC дорівнює відрізку, що з'єднує центр кола з точкою перетину діагоналей. Нехай ця точка перетину називається P.

Оскільки чотирикутник ABCD вписано в коло, то радіус кола дорівнює відстані від центру кола до будь-якої точки чотирикутника. Тому радіус кола дорівнює:

r = AP + PC = BP + PD

Оскільки AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, то AP = a/2, PC = c/2, BP = b/2, PD = d/2. Підставивши ці значення в рівняння, отримаємо:

r = a/2 + c/2 = b/2 + d/2

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

r = (a + c)/2 = (b + d)/2

Діагональ AC дорівнює відрізку, що з'єднує центр кола з точкою перетину діагоналей, тобто дорівнює радіусу кола. Тому довжина діагоналі AC дорівнює:

AC = r = (a + c)/2 = (b + d)/2

Отже, відповідь:

AC = (a + c)/2 = (b + d)/2

Ось покроковий розв'язок:

Нехай точка перетину діагоналей називається P.

Оскільки чотирикутник ABCD вписано в коло, то радіус кола дорівнює відстані від центру кола до будь-якої точки чотирикутника.

AP = a/2, PC = c/2, BP = b/2, PD = d/2.

r = AP + PC = BP + PD = (a + c)/2 = (b + d)/2.

AC = r = (a + c)/2 = (b + d)/2.

Цей розв'язок можна також записати у вигляді наступної формули:

AC = (a + b + c + d) / 2

Ця формула узагальнює попередню формулу, оскільки вона справедлива для будь-якого чотирикутника, вписаного в коло.