Question

докажите что для любых действительных чисел x,y и z выполнимо неравенство x²+y²+z²≥xy+yz+zx​

Answer 1

$\displaystyle x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\ \ \ |\cdot 2\\\\2x^2+2y^2+2z^2\geq2xy+2yz+2zx\\\\2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\geq 0\\\\x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\geq 0\\\\(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$

Cумма неотрицательных чисел является неотрицательным числом.