Решение уравнения 3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 (а; х). сколько решений имеет пара (а; х)? Где: a€ [0; 2023] и x€ [0;2023π].
Ответы
Ответ: Пара (a ; x) имеет 2023 решения
Пошаговое объяснение:
Решение уравнения 3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 (а; х). сколько решений имеет пара (а; х)? Где: a€ [0; 2023] и x€ [0;2023π].
3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9
Наибольшее и наименьшее значение для функции y = acosφ + bcosφ , можно найти воспользовавшись неравенством
Где - максимальное значение , а
- минимальное
Следовательно
Значит правая часть уравнения -5 ≤ a² - 4a + 9 ≤ 5 ⇒
Легко видеть, что у второго неравенства системы единственное решение a∈{2} , которое удовлетворяет первому, значит данная система неравенств имеет единственное решение a = 2 ⇒
3sinx + 4cosx = 2² - 4·2 + 9
3sinx + 4cosx = 5
Положим
3sinx + 4cosx ≤ 5
Равенство достигается если
Отметим что
Следовательно
Максимальное n при котором неравенство верно это n = 2022, а минимальное n = 0, следовательно есть 2023 целых n, при которых неравенство верно, а поскольку a всегда равно 2, то у уравнения
3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 есть 2023 решения
#SPJ1