Question

Решение уравнения 3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 (а; х). сколько решений имеет пара (а; х)? Где: a€ [0; 2023] и x€ [0;2023π].

Answer 1

Ответ: Пара (a ; x) имеет 2023 решения

Пошаговое объяснение:

Решение уравнения 3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 (а; х). сколько решений имеет пара (а; х)? Где: a€ [0; 2023] и x€ [0;2023π].

3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9

Наибольшее и наименьшее значение для функции y = acosφ + bcosφ , можно найти воспользовавшись неравенством

$-\sqrt{a^2 + b^2 } \leqslant a\cos \varphi + b \sin \varphi \leqslant \sqrt{a^2 +b^2}$

Где  $\sqrt{a^2 + b^2}$- максимальное значение ,  а    $-\sqrt{a^2 + b^2}$ - минимальное

Следовательно

$-\sqrt{3^2 + 4^2} \leqslant 3 \sin x + 4 \cos x\leqslant \sqrt{3^2 + 4^2} \\\\\ -5 \leqslant 3 \sin x + 4 \cos x\leqslant 5$

Значит правая часть уравнения   -5 ≤ a² -  4a + 9 ≤ 5 ⇒

$\left \{ \begin{array}{l} a^2 - 4a + 9 \geqslant -5 \\\\\ a^2 - 4a + 9 \leqslant 5\end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a^2 - 4a + 14 \geqslant 0 \\\\\ a^2 - 4a + 4 \leqslant 0\end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a^2 - 4a + 14 \geqslant 0 \\\\\ (a-2)^2 \leqslant 0 \end{array}$

Легко видеть, что у второго неравенства  системы единственное решение a∈{2} , которое удовлетворяет первому, значит данная система неравенств имеет единственное решение a = 2 ⇒

3sinx + 4cosx = 2² - 4·2 + 9

3sinx + 4cosx  = 5

Положим $\vec a = ( \sin x ~; ~\cos x) ~, ~ \vec b = ( 3 ~ ; ~ 4) ~ , ~ \vec a \cdot \vec b = 3\sin x + 4 \cos x$

$\vec a \cdot \vec b \leqslant |\vec a|\cdot |\vec b| =1\cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

3sinx + 4cosx ≤ 5

Равенство достигается  если

$\dfrac{\sin x}{3 } = \dfrac{\cos x }{4} \\\\\ \mathrm{tg}x = \dfrac{3}{4} \\\\ x = \mathrm{arctg}\dfrac{3}{4} +\pi n , ~ n \in \mathbb Z$

Отметим что $\mathrm{arctg}\dfrac{3}{4} \approx 37^{\circ}$

Следовательно

$0 \leqslant \mathrm{arctg}\dfrac{3}{4} +\pi n \leqslant 2023\pi \\\\\ 37^{\circ } + \pi n \leqslant 2023\pi ~ , ~ n \geqslant 0$

Максимальное n при котором неравенство верно это n = 2022, а минимальное n = 0, следовательно есть 2023 целых n, при которых неравенство верно, а поскольку  a всегда равно  2, то у уравнения

3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 есть 2023 решения

#SPJ1