Question

Знайти похідні уʼ=dy/dx заданих функцій.

Answer 1

Ответ:

a)   $\displaystyle \frac{dy}{dx} =6x+\frac{2}{x^2}-\frac{20}{x^6}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2} }$

б)   $\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{3x^2-4x-3}{(x^2+1)^2}$

в)   $\displaystyle \frac{dy}{dx} =(x^2+1)^2\left(\frac{-13x^2+6x-1}{\sqrt{1-2x} } \right)$

г)   $\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{5}{5x-2}+\frac{cos\;x}{2\sqrt{sin\;x} } -8^{x-3}\cdot ln\;8$

д)   $\displaystyle \frac{dy}{dx} =-\frac{2tg\;t}{7cos^2t\cdot sin\;7t}$

Пошаговое объяснение:

Найти производную.

а)    $\displaystyle \bf y=3x^2-\frac{2}{x} +\frac{4}{x^5} -\sqrt[3]{x} +4$

• Производная суммы равна сумме производных.

Перепишем в удобном виде:

$\displaystyle \bf y=3x^2-\frac{2}{x} +4x^{-5}-x^{\frac{1}{3} } +4$

$\displaystyle y'=3\cdot2x+\frac{2}{x^2} +4\cdot(-5)x^{-6}-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3} } +0=\\\\=6x+\frac{2}{x^2}-\frac{20}{x^6}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2} }$

б)    $\displaystyle \bf y=\frac{2-3x}{x^2+1}$

• Производная частного:

        $\boxed {\displaystyle \bf \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

$\displaystyle y'=\frac{(2-3x)'(x^2+1)-(2-3x)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} =\\\\=\frac{-3(x^2+1)-(2-3x)\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{-3x^2-3-4x+6x^2}{(x^2+1)^2} =\\\\=\frac{3x^2-4x-3}{(x^2+1)^2}$

в)    $\displaystyle \bf y=\sqrt{1-2x}\cdot (x^2+1)^3$

• Производная произведения:

        $\boxed {\displaystyle \bf (uv)'=u'v+uv' }$

$\displaystyle \bf y=(1-2x)^{\frac{1}{2} }\cdot (x^2+1)^3$

Здесь сложные функции.

$\displaystyle y'= \frac{1}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{2} } \cdot (1-2x)'\cdot (x^2+1)^3+(1-2x)^{\frac{1}{2} }\cdot3(x^2+1)^2(x^2+1)'=\\\\=\frac{-2(x^2+1)^3}{2\sqrt{1-2x} } +\sqrt{1-2x} \cdot3(x^2+1)^2\cdot2x=\\\\=(x^2+1)^2\left(\frac{-x^2-1}{\sqrt{1-2x} } +6x\sqrt{1-2x} \right)=\\\\=(x^2+1)^2\left(\frac{-x^2-1+6x-12x^2}{\sqrt{1-2x} } \right)=\\\\=(x^2+1)^2\left(\frac{-13x^2+6x-1}{\sqrt{1-2x} } \right)$

г)     $\displaystyle \bf y=ln(5x-2)+\sqrt{sin\;x} -8^{x-3}$

Здесь тоже сложные функции.

$\displaystyle \bf y=ln(5x-2)+(sin\;x)^{\frac{1}{2} }-8^{x-3}$

$\displaystyle y'=\frac{(5x-2)'}{5x-2} +\frac{1}{2}(sin\;x)^{-\frac{1}{2} } \cdot (sin\;x)'-8^{x-3}\cdot ln\;8\cdot (x-3)'=\\\\=\frac{5}{5x-2}+\frac{cos\;x}{2\sqrt{sin\;x} } -8^{x-3}\cdot ln\;8$

д)    $\displaystyle \bf \left \{ {{x(t)=cos\;7t} \atop {y(t)=tg^2t}} \right.$

            $\boxed {\displaystyle \bf y_x'=\frac{y'_t}{x_t'} }$

$\displaystyle x'_t=-sin\;7t\cdot(7t)'=-7sin\;7t$

$\displaystyle y_t'=2tg\;t\cdot (tg\;t)'=\frac{2tg\;t}{cos^2t}$

$\displaystyle y_x'=-\frac{2tg\;t}{7cos^2t\cdot sin\;7t}$